Page 131 - matematica-viii

UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 129

Teoremă
Teorema acoperişului. Dacă două drepte paralele sunt situate, res-
pectiv, în două plane secante, atunci dreapta de intersecție a celor două
plane este paralelă cu dreptele date (sau coincide cu una dintre drep-
tele date).

Exersăm împreună!

Considerăm dreptele concurente a Observație
şi b incluse într-un plan α , a ∩ b = {O} . Rezolvarea problemei alăturate demon-

Printr-un punct O’ ∉ α construim drep- strează existenţa planelor paralele, oferind

tele a’ ∥ a şi b’ ∥ b . Dreptele concurente în acelaşi timp şi un criteriu de demon-

a’ şi b’ determină planul β . Demon- strare a paralelismului a două plane:

strați că α ∥ β . Pentru a demonstra că două plane sunt
Rezolvare. Presupunem că planele paralele este suficient să determinăm două
α şi β se intersectează după o dreaptă d . drepte concurente din unul dintre plane

care să fie paralele cu două drepte concu-
Aplicând teorema anterioară: rente din celălalt plan.
 pentru a ∥ a’ , a ⊂ α şi a’ ⊂ β , obținem că d ∥ a ;
 pentru b ∥ b’ , b ⊂ α şi b’ ⊂ β , obținem că d ∥ b .

Prin punctul O am avea construite două paralele, a şi b , la aceeaşi

dreaptă, deci în contradicție cu axioma paralelelor (postulatul lui Euclid).
În concluzie, cele două plane nu se intersectează, deci sunt paralele (pla-
nele nu sunt identice deoarece O’ ∉ α ). Reflectăm!
Observaţi că poziţia unui plan faţă de un
Teoremă alt plan este determinată de numărul
Criteriu de paralelism. Dacă un plan punctelor lor de intersecţie. Realizaţi o
α conține două drepte concurente pa- asociere între mulţimea poziţiilor relative

a două plane şi mulţimea punctelor de in-
ralele cu un plan β , atunci planele α şi β tersecţie dintre cele două plane. Imaginaţi
sunt paralele. şi alte condiţii ce trebuie impuse în raport
a, b ⊂ α ⎫ cu două plane, pentru a asigura poziţiona-
⎪

a ∩ b ≠ ∅, a ≠ b ⎬ ⇒ α ∥ β rea planelor într-unul dintre cazurile date
(confundate, secante, paralele). Discutaţi
a ∥ β, b ∥ β ⎪ la nivelul clasei şi validaţi cazurile corecte!
⎭
Proprietăți ale relației de paralelism dintre plane
Teoremă
Dacă două plane sunt paralele, atunci
orice dreaptă inclusă în unul dintre plane Activitate practică
este paralelă cu celălalt plan. Desenaţi pe o foaie de hârtie două drepte
α ∥ β a şi b , concurente într-un punct O . Luaţi un
⇒ d ∥ β punct la întâmplare, A , care să nu fie pe

d ⊂ α } foaia de hârtie. Punctul A determină cu fi-

ecare dintre cele două drepte două plane.
Ce poziţie au cele două plane unul faţă de
Indicaţie. Presupunem că dreapta d intersectează planul β . celălalt? Dacă se intersectează, care este
(Continuați rezolvarea în perechi) dreapta lor de intersecţie?