Page 132 - matematica-viii
P. 132
130 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4
Teoremă
Reflectăm!
Printr-un punct exterior unui plan trece un singur plan paralel cu
Considerăm două plane α şi β . Se poate planul dat.
construi întotdeauna în planul α o dreaptă
care să fie paralelă cu planul β ? Studiaţi Indicaţie. Puteți face legătura cu cazul dreptelor? Faceți legătura cu po-
diverse poziţii ale celor două plane. deaua şi tavanul sălii de clasă. Acestea corespund la două plane paralele!
Teoremă
Tranzitivitatea relaţiei de paralelism
între plane. Două plane distincte paralele
Activitate în cooperare cu un al treilea plan sunt paralele între ele.
α ∥ δ ⎫
Discutaţi la nivelul clasei şi stabiliţi valoa- ⎪
rea de adevăr a următoarelor propoziţii. β ∥ δ ⎬ ⇒ α ∥ β
⎪
Folosiţi creioane (cu rol de dreaptă) şi una α ≠ β⎭
sau mai multe foi de hârtie (cu rol de plan)
pentru a construi contraexemple în cazul Indicaţie. Prespuneți că cele două plane nu sunt paralele şi folosiți
propoziţiilor false:
1. Dacă două plane au un punct comun, teorema anterioară.
atunci ele sunt secante.
2. Dacă două plane au trei puncte distincte
în comun, atunci ele sunt identice.
3. Dacă α ∥ β , atunci orice dreaptă din Teoremă
planul α este paralelă cu o infinitate de Teorema fierăstrăului. Dacă două
drepte din planul β . plane sunt paralele, atunci orice
4. Fiind date două drepte necoplanare şi
un punct M nesituat pe ele, există un plan plan care intersectează unul dintre
care conţine punctul M şi este paralel cu ele îl intersectează şi pe celălalt, iar
cele două drepte. dreptele de intersecție sunt paralele.
Folosiţi-vă şi de spaţiul clasei pentru a α ∥ β ⎫
identifica elementele care să corespundă ⎪
⎬
informaţiilor din enunţ şi exemplificaţi α ∩ δ = a ⇒ a ∥ b
⎪
planul care îndeplineşte condiţiile date! β ∩ δ = b ⎭
5. Este suficient ca două plane să fie para-
lele cu aceeaşi dreaptă pentru ca ele să fie
paralele între ele.
6. Fiind date două plane secante şi un Indicaţie. Prespuneți că cele două drepte nu sunt paralele şi continuați
punct M nesituat în ele, există o singură rezolvarea.
dreaptă care trece prin M şi este paralelă
cu ambele plane.
Teoremă
Două plane paralele determină pe două
drepte paralele, secante ale planelor, seg-
mente congruente.
Reflectăm! α ∥ β, a ∥ b ⎫
⎪
a ∩ α = {A}, a ∩ β = {B} ⎬ ⇒ AB ≡ CD
Considerăm două drepte necoplanare a şi b . ⎪
Explicaţi modul de construcţie: b ∩ α = {C}, b ∩ β = {D} ⎭
a unui plan care să conţină dreapta a şi
să fie paralel cu dreapta b (este unic?);
a unui plan care să treacă printr-un
punct O (nesituat pe niciuna dintre drepte) Indicaţie. Dreptele a şi b determină un plan ce taie cele două plane pa-
şi să fie paralel cu amândouă dreptele. ralele după dreptele paralele AC şi BD ; studiați natura patrulaterului ABDC .
