Page 133 - matematica-viii

UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 131

Exersați
1. Considerăm cubul ABCDA’B’C’D’ .
a) Stabiliți poziția dreptei AB în raport cu planele care includ fețele cubului.
b) Stabiliți poziția relativă la planul (ADD’) a dreptelor AD’ , CD , B’C’ , BC’ , respectiv CA’ .

2. Considerăm tetraedrul SABC şi punctele M şi N mijloacele muchiilor SA , respectiv SB . Stabiliți poziția dreptei

MN în raport cu planul: a) (ABC) ; b) (SAB) ; c) (SBC) ; d) (SAC) .

3. Oricare două vârfuri ale paralelipipedului dreptunghic ABCDA’B’C’D’ determină o dreaptă. Identificați, printre
acestea, dreptele:
a) paralele cu planul (BCC’) ; b) secante la planul (ABB’) ; c) incluse în planul (A’B’C) .

4. Triunghiul ABC are latura BC inclusă într-un plan α şi punctul A ∉ α . Punctele M şi N aparțin laturilor AB , res-

pectiv AC . Stabiliți poziția dreptei MN în raport cu planul α , în fiecare dintre situațiile:
a) AB = 12 cm , AC = 15 cm , AM = 4 cm şi AN = 5 cm ;
b) AM = 3 cm , MB = 6 cm şi AC = 3AN ;
c) AM = 2,5 cm , AB = 10 cm , AN = 2 cm şi AC = 9 cm .
5. În figura alăturată, trapezul ABCD , cu AB ∥ CD , are baza AB inclusă în planul

α , punctul C ∉ α , iar punctele M şi N sunt mijloacele laturilor AD , respectiv BC .
a) Demonstrați că CD ∥ α .
b) Este dreapta MN inclusă în planul α ?
c) Realizați pe caiet un alt desen, mai sugestiv, pentru răspunsul dat la punctul b).
d) Demonstrați că dreapta DN este secantă planului α . Dacă DN ∩ α = {E} , stabiliți poziția punctului E față de

dreapta AB .

6. Dreptunghiurile ABCD şi ABEF , de centre O , respectiv O , sunt situate în plane diferite. Demonstrați că:

1
2

a) FE ∥ (ABC) ; b) AB ∥ (CDE) ; c) O O ⊂ (ACE) ; d) O O ∥ (FAD) .

1
1
2
2

7. În figura alăturată sunt reprezentate un plan α şi o dreaptă AB , AB ∥ α . Punctele

M şi N nu aparțin planului α , E şi F sunt punctele de intersecție ale dreptelor NA

şi NB cu planul α , iar C şi D sunt punctele de intersecție ale dreptelor MA şi MB cu

planul α . Demonstrați că CD ∥ EF . În ce condiții suplimentare CD ≡ EF ?
8. În piramida patrulateră regulată SABCD , punctele M , N , P şi R sunt mijloacele

segmentelor SB , SC , SA , respectiv SP . Demonstrați că:
a) dreptele MN şi PN sunt paralele cu planul (ABC) ; b) dreapta RN este secantă planului (ABC) .

9. Considerăm un paralelogram ABCD şi un punct E exterior planului acestuia. Punctul F este mijlocul segmen-

tului AE . Demonstrați că CE ∥ (FBD) .

10. În tetraedrul ABCD , punctele M şi N sunt mijloacele segmentelor BC , respectiv CD , iar punctele G şi G sunt

1 2
centrele de greutate ale triunghiurilor ABC , respectiv ACD . Demonstrați că:

a) punctele B , D , G şi G sunt coplanare; b) MN ∥ (B G G ) ; c) G G ∥ (BCD) .

1 2 1 2 1 2
11. Considerăm tetraedrul SABC , cu AB = AC . Bisectoarea unghiului SBA intersectează SA în E , iar bisectoarea un-

ghiului SBC intersectează SC în F . Demonstrați că EF ∥ (ABC) .
Plane paralele
12. Cei patru pereți ai clasei, împreună cu tavanul şi podeaua, reprezintă
şase plane. Alegeți unul dintre aceste plane şi indicați:
a) planele paralele cu el; b) planele secante cu el.
13. Observați cartea deschisă din imaginea alăturată. Demonstrați că
(CDE ) ∥ (FGH) .