Page 134 - matematica-viii

132 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

14. Considerăm paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ .
a) Numiți plane secante cu planul (ABC) .
b) Determinați un plan paralel cu planul (BCC’) .
c) Demonstrați că planul determinat de dreptele AB şi A’B’ coincide cu planul determinat de dreapta BB’ şi punctul A .

15. În tetraedrul ABCD , considerăm punctele M , N , P şi R mijloacele muchiilor BA , BC , BD , respectiv CD . Demon-
strați că:
a) (MNP) şi (BCD) sunt secante; b) (NPR) şi (BCD) sunt identice; c) (MNP) ∥ (ACD) .
16. Considerăm paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ şi punctele O şi O’ centrele dreptunghiurilor ABCD ,
respectiv A’B’C’D’ .
a) Demonstrați că (A’BD) ∥ (CB’D’) şi (O’AD) ∥ (OB’C’) .
b) Determinați intersecția planelor (ACC’) şi (BDD’) .
17. Considerăm prisma hexagonală regulată ABCDEFA’B’C’D’E’F’ . Demonstrați că:
a) (ABB’) ∥ (DEE’) ; b) (BCC’ ) ∥ (ADD’) ; c) (BDD’) ∥ (AA’E’) ;
d) (ADD’) , (BEE’) şi (CFF’) au o dreaptă comună; e) dacă (BCC’ ) ∩ (EDD’ ) = d , atunci d ∥ BB’ .

18. Considerăm o prismă triunghiulară regulată ABCA’B’C’ şi un punct oarecare M pe muchia

AB . Planul (MCC’) intersectează A’B’ în punctul N . Demonstrați că: a) MN ∥ CC’ ; b) MC ∥ NC’ .

19. În piramida patrulateră regulată VABCD determinați intersecția planelor (VBC) şi (VAD) .

20. În prisma patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ punctele M , N şi P sunt mijloacele segmentelor D’A , AB’ , res-

pectiv B’C . Demonstrați că:
a) (MNP) ∥ (ABC) ; b) triunghiul MNP este dreptunghic.
21. Considerăm piramida patrulateră regulată SABCD şi punctul O centrul bazei ABCD . Construim simetricul

punctului S față de punctul O , pe care îl notăm cu V . Demonstrați că:
a) (SAB ) ∥ (VCD) ; b) VABCD este piramidă regulată.

22. Considerăm o prismă patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ şi un plan α care

intersectează muchiile AA’ , BB’ , CC’ şi DD’ în punctele M , N , P , respectiv R .
a) Demonstrați că MNPR este paralelogram.
b) Dacă, în plus, planul α este paralel cu (ABC) , demonstrați că MNPR este pătrat.

Activitate practică
 Pe două bucăți de sfoară de aceeaşi lungime marcăm prin noduri mai multe poziții, astfel încât distanțele
dintre ele să fie aceleaşi pe ambele sfori:

Experimentul 1. Mai mulți elevi se aşază în rând şi fiecare dintre ei ține ambele sfori de nodurile echivalente
şi ridică mâinile sus, bine întinse în plan vertical. Sfoara trebuie să fie bine întinsă. Primul dintre elevi trage de
ambele sfori, în lungul acestora, în acelaşi timp şi cu aceeaşi deplasare. Observați pozițiile brațelor, inițial şi
după deplasare. Faceți analogie cu dreptele şi planele paralele.
Experimentul 2. Sforile se leagă în jurul încheieturilor ambelor mâini ale
fiecărui elev, astfel încât distanțele dintre ei să fie egale pe ambele sfori (se
folosesc nodurile pentru a stabili acest aspect). Fiecare elev ține câte o coală de
carton între mâinile ridicate deasupra capului, astfel încât acestea (colile) să
fie paralele între ele. Primul dintre elevi trage de una dintre sfori. Ce observați?
 Observați jaluzelele din imaginea alăturată. Plecând de la experimentele
anterioare şi teoremele de paralelism studiate în cadrul ultimei lecții, explicați
de ce lamelele jaluzelelor rămân paralele, indiferent de înclinația lor!