Page 136 - matematica-viii

134 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Rețineți!

Secțiunea obținută în urma intersecției unei Secțiunea obținută în urma intersecției unui
prisme cu un plan paralel cu baza este un poligon cilindru circular drept cu un plan paralel cu ba-
congruent cu baza prismei. zele este un cerc congruent cu cercul bazei.
În urma secționării prismei se obțin două În urma secționării cilindrului se obțin doi ci-
prisme de acelaşi tip cu cea inițială. lindri cu bazele congruente

Activitate practică

➢ Observați cilindrul şi secțiunea cu planul paralel cu bazele acestuia. Recapitulând proprietățile învățate la
plane paralele, studiați natura patrulaterului ABFE şi justificați de ce cercul de centru O’’ şi rază O’’E este con-

gruent cu cercul bazei. Ați putea demonstra acest lucru folosind desfăşurarea suprafeței laterale a cilindrului?
➢ Folosiți o lanternă cu lumină puternică într-o cameră întunecoasă, pe care s-o proiectați pe un perete. Se-
sizați corpul geometric pe care îl delimitează fasciculul de lumină şi urma fasciculului pe perete. Aşezați o foaie
de hârtie paralelă cu peretele între sursa de lumină şi perete. Observați urma lăsată de lumină pe foaie. Poziți-
onați foaia de hârtie la diferite distanțe şi formulați concluzii privind proiecția fasciculului (mărimea acestuia).
Faceți legătura dintre proiecția fasciculului de lumină pe foaie şi secțiunile învățate.

Secțiuni în piramidă/con

Exersăm împreună!

Considerăm piramida patrulateră regulată VABCD şi un punct A’ situat pe muchia VA

a acesteia. Secționăm piramida cu un plan α ∥ (ABC) , A’ ∈ α , care intersectează muchiile
VB , VC şi VD în punctele B’ , C’ , respectiv D’ . Demonstrați că:
a) A’B’ ∥ AB ;
b) punctele V , M’ şi M sunt coliniare, unde M’ şi M sunt mijloacele segmentelor B’C’ , respectiv BC ;
c) A’B’C’D’ este pătrat;
d) punctele V , O’ şi O sunt coliniare, unde O şi O’ sunt centrele pătratelor ABCD , respectiv A’B’C’D’ ;
VA’
VO’
VM’
_

e) _ = A’B’ = _ = _ .
VA AB VO VM
Rezolvare. a) Planul (VAB) intersectează planele paralele α şi (ABC) după dreptele A’B’ ∥ AB .
b) Mediana VM intersectează paralela B’C’ ∥ BC (demonstrați) în mijlocul segmentului B’C’ , deci în M’ .
c) Se demonstrează că:
• ’B’C’D’ este paralelogram, pentru că are laturile opuse paralele (demonstrați);
A
• A’B’C’ = ∢ABC = 90° (unghiuri cu laturi paralele);
∢
A
.
• ’C’ ⊥ B’D’
e) Aplicând teorema fundamentală a asemănării:
A’B’
_
VA’

=

• în ΔVAB , cu A’B’ ∥ AB : _ = _ VB’ ;
VA AB VB
VA’
VO’

• în ΔVAO , cu A’O’ ∥ AO (demonstrați): _ = _ ;
VO
VA
VM’
_
• în ΔVBM , cu B’M’ ∥ BM : VB’ = _ şi concluzia.

VB
VM