Page 139 - matematica-viii

UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 137

Exersați
1. Demonstrați că secțiunea obținută în urma intersecției unei prisme triunghiulare regulate cu un plan paralel
cu bazele este un triunghi echilateral, congruent cu bazele prismei.

2. Cubul ABCDA’B’C’D’ este secționat cu un plan paralel cu (ABC) , care intersectează muchiile AA’ , BB’ , CC’ şi DD’
în punctele E , F , G , respectiv H . Demonstrați că EFGHA’B’C’D’ este o prismă patrulateră regulată.

3. Pe muchiile prismei patrulatere regulate ABCDEFGH , AB = 10 cm şi AE = 15 cm , considerăm punctele A’ ∈ AE ,
2 _
1 _

AA’ = AE , B’ ∈ BF , B’F = BF şi C’ ∈ CG , CC’ = 2C’G .

3
3
a) Demonstrați că (ABC) ∥ (A’B’C’) .
b) Dacă DH ∩ (A’B’C’) = {D’} , demonstrați că ABCDA’B’C’D’ este cub.

4. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ , considerăm punctele O , O , O şi O centrele fețelor ABB’A’ ,

4
2
3
1
BCC’B’ , CDD’C’ , respectiv DAA’D’ .

a) Demonstrați că punctele O , O , O şi O sunt coplanare.

1 2 3 4

b) Demonstrați că ( O O O ) ∥ (ABC) .

1 2 3

c) Dacă planul ( O O O ) intersectează muchiile AA’ , BB’ , CC’ şi DD’ în punctele M , N , P , respectiv R , calculați ra-

3
2
1

portul dintre ariile patrulaterelor O O O O şi MNPR .

4
1
2
3

5. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ , considerăm punctele coplanare E , F , G şi H situate pe muchiile
AB , CD , C’D’ , respectiv A’B’ .
a) Demonstrați că EFGH este paralelogram. b) În ce condiții EFGH este dreptunghi?
6. Observați corpul ABCDEFGH din figura alăturată, în care ABCD şi EFGH sunt drept-

unghiuri cu dimensiunile AB = 12 cm , BC = 8 cm , EF = 6 cm şi FG = 5 cm . Reprezintă el
un trunchi de piramidă? Cum puteți verifica acest aspect folosind doar o riglă?
7. Desenați trunchiul de piramidă regulată ABCDEF şi puneți în evidență o apotemă şi

segmentul OO’ , unde punctele O şi O’ sunt centrele bazelor.

8. Desenați un trunchi de con şi segmentul OO’ , unde punctele O şi O’ sunt centrele
bazelor. Realizați o desfăşurare a acestuia.
9. Ce corpuri geometrice se obțin dacă secționăm un trunchi de piramidă cu un plan paralel cu bazele acestuia?
10. Un trunchi de piramidă are bazele triunghiuri echilaterale cu lungimile laturilor de 3 cm, respectiv 9 cm, iar
lungimile muchiilor laterale sunt egale cu 6 cm. Demonstrați că piramida din care provine trunchiul este tetrae-
dru regulat.
11. Un con circular drept are raza bazei de 9 cm şi se secționează cu un plan paralel cu baza, care intersectează o
generatoare în mijlocul acesteia. Calculați aria secțiunii.
12. Într-un trunchi de con circular drept, lungimea razei bazei mari este 8 cm, a razei bazei mici 6 cm, iar lungi-
mea generatoarei este 5 cm. Calculați lungimea generatoarei conului din care provine trunchiul.
13. Demonstrați că oricare două muchii laterale ale unui trunchi de piramidă sunt coplanare.
14. Realizați pe un carton o desfăşurare a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată cu latura bazei mari de
9 cm, latura bazei mici de 5 cm şi apotema de 5 cm. Decupați desfăşurarea realizată şi construiți trunchiul de
piramidă. Calculați lungimea apotemei piramidei regulate din care provine trunchiul.
15. Confecționați din carton un trunchi de piramidă triunghiulară regulată cu latura bazei mari de 10 cm, latura
bazei mici de 6 cm şi apotema de 5 cm. Calculați lungimea apotemei piramidei din care provine trunchiul.
2 _
_

16. Pe muchia AB a tetraedrului ABCD considerăm punctul M astfel încât AM = . Construim prin M un plan pa-

MB 3
ralel cu (BCD) , care intersectează muchiile AC şi AD în punctele N , respectiv P . Calculați raportul perimetrelor şi

raportul ariilor triunghiurilor MNP şi BCD .
17. Considerăm piramida patrulateră regulată VABCD , cu AB = 12 cm şi VA = 15 cm . Un plan paralel cu baza de-

termină în piramidă o secțiune cu aria de 64 cm . Determinați lungimea laturii bazei mici şi lungimea muchiei
2
laterale a trunchiului de piramidă obținut.