Page 143 - matematica-viii

UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 141

Definiție
Activitate pe grupe
 O dreaptă este perpendiculară pe un
plan dacă este perpendiculară pe orice Colaboraţi la nivelul grupei pentru a răs-
dreaptă din acel plan. punde întrebărilor formulate. Reţineţi ide-
ile care sprijină învăţarea.
Notăm d ⊥ α şi citim dreapta d este  Pentru a demonstra că o dreaptă d este

perpendiculară pe planul α . perpendiculară pe un plan α este suficient

d ⊥ α ⇔ d ⊥ a , pentru orice dreaptă să demonstrăm că d este perpendiculară

a ⊂ α pe două drepte concurente din acel plan.
 Despre o dreaptă care intersectează un plan şi nu este perpendi- Este nevoie ca punctul de intersecţie al
culară pe acel plan spunem că este oblică față de plan. celor două drepte să coincidă cu punctul

de intersecţie dintre dreapta d şi planul α ?
⧸
e ⊥ α , e ∩ α ≠ ∅ , e ∩ α ≠ e, e este oblică față de α  De ce trebuie să verificăm perpendi-

cularitatea pe două drepte concurente
din plan? Folosind un creion (pe post de
Teoremă dreapta d ) şi o coală de hârtie (cu rol de
Dacă o dreaptă este perpendiculară plan α ) pe care aveţi desenată o dreaptă a ,
pe două drepte concurente dintr-un realizaţi o configuraţie în care d ⊥ a . Este
neapărat d ⊥ α ?
plan, atunci ea este perpendiculară pe  De ce este necesar ca cele două drepte
acel plan. să fie concurente? Mai desenaţi pe coala
a, b ⊂ α ⎫ de hârtie o dreaptă b ∥ a . Dacă d ⊥ a , în ce
a ≠ b ⎪ relaţie este ea cu dreapta b ? Este neapărat
a ∩ b ≠ ∅ d ⊥ α ?

⎬ ⇒ d ⊥ α
⎪
d ⊥ a, d ⊥ b⎭

Exersăm împreună! Reflectăm!

Considerăm paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ . Demonstrați că:  Referitor la problema alăturată, stra-
a) AB ⊥ (BB’C’) ; tegia de rezolvare a punctului b) a inclus
folosirea rezultatului demonstrat la punc-
b) AB ⊥ BC’ şi AB ⊥ B’C ; tul anterior, respectiv perpendicularitatea

c) ABC’D’ dreptunghi. dreptei AB pe planul (BB’C’) , plan care con-

d) Calculați AC’ , ştiind că AB = 4 cm , BC = 3 cm ţine şi dreapta B’C . Folosind aceeaşi strate-
şi CC’ = 12 cm . gie, putem demonstra că AB ⊥ CC’ .
Rezolvare. Discutaţi în echipe o altă metodă pentru
a demonstra această perpendicularitate,
AB ⊥ BC, AB ⊥ BB’⎫ folosind măsura unghiului dintre două
⎪

a) BC ∩ BB’ = {B} ⎬ ⇒ AB ⊥ (BB’C’) ; drepte necoplanare.

⎪  Discutaţi în echipe şi alte strategii de
BC, BB’ ⊂ (BB’C’) ⎭
calcul al diagonalei AC': una bazată pe per-
AB ⊥ (BB’C’) pendicularitatea lui C'C pe planul (ABC) şi
b) ⇒ AB ⊥ BC’ ; demonstrați singuri că AB ⊥ B’C ;

BC ’ ⊂ (BB’C’)} folosirea diagonalei AC a bazei; alta folo-
sind perpendicularitatea lui C'D' pe planul

c) ABC’D’ paralelogram (demonstrați) şi ∢ABC’ = 90° ( AB ⊥ BC’ ), (ADD') şi triunghiul dreptunghic AD'C'. Pu-
rezultă ABC’D’ este dreptunghi; teţi generaliza o formulă de calcul al dia-

d) ΔABC’ dreptunghic ( AB ⊥ BC’ ), deci putem aplica teorema lui gonalei unui paralelipiped dreptunghic?
_

Pitagora în acesta; se calculează mai întâi BC’ = √ 153 cm în ΔBCC’  Comparaţi enunţurile referitoare la per-

şi AC’ = 13 cm . pendicularitate corespunzătoare geome-
triei plane cu cele din geometria în spaţiu,
evidenţiind asemănări şi deosebiri. Stabi-
liţi, în echipe, strategii de justificare a teo-
remelor şi proprietăţilor.