Page 144 - matematica-viii

142 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Rețineți!

Perpendicularitate în plan şi spaţiu
PLAN SPAȚIU

Teoremă. Teoremă.
Prin orice punct Prin orice punct al spațiului putem construi
al unui plan putem o singură perpendiculară pe un plan dat.
construi o singură
perpendiculară pe
o dreaptă dată.

Proprietate
În spațiu, printr-un punct al unei drepte putem construi o infi-
nitate de drepte perpendiculare pe dreapta dată.
Realizați un desen care să explice proprietatea.
Teoremă. Teoremă.
Într-un plan, În spațiu, două drepte distincte,
două drepte dis- perpendiculare pe acelaşi plan, sunt
tincte, per- paralele între ele.
pendiculare a ⊥ α , b ⊥ α , a ≠ b ⇒ a ∥ b

pe aceeaşi
dreaptă,
sunt paralele Proprietate
între ele. În spațiu, două drepte distincte, perpendiculare pe o aceeaşi dreaptă,
a ⊥ d , b ⊥ d , a ≠ b ⇒ a ∥ b pot fi paralele, concurente sau necoplanare.
Realizați desenele care să explice proprietatea.

Exersați

1. În figura alăturată, dreapta a este inclusă în planul α , iar dreapta d este perpendi-

culară pe dreapta a . Este dreapta d perpendiculară pe planul α ?
2. Considerăm un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH . Precizați, justificând alegerea,
patru drepte perpendiculare pe fiecare dintre planele:
a) (ABC) ; b) (BCG) ; c) (CDH) .
3. Considerăm cubul ABCDA’B’C’D’ cu latura de 6 cm.
a) Demonstrați că A’A ⊥ (ABC) . b) Demonstrați că A’A ⊥ BD . c) Calculați lungimile segmentelor A’B şi A’C .
4. Reprezentați planul α , punctele A şi B aparținând planului şi punctul C astfel încât CB ⊥ α , C ∉ α .
a) Cum este dreapta CA față de planul α ?
b) Dacă AB = 12 cm şi BC = 16 cm , calculați lungimea segmentului AC .

5. Considerăm triunghiul ABC şi punctul M ∉ (ABC) astfel încât ∢MAB = ∢MAC = 90° . Punctul D este mijlocul
segmentului BC .

a) Determinați măsura unghiului MAD . Se modifică măsura acestui unghi dacă punctul D este pe BC , dar nu la
mijlocul segmentului?
b) Demonstrați că MA ⊥ BC .
6. Dreptunghiul ABCD şi triunghiul dreptunghic ABE , ∢A = 90° , sunt în plane diferite. Demonstrați că:
a) EA ⊥ DC ; b) BA ⊥ (AED) ; c) ED ⊥ DC .