Page 142 - matematica-viii

140 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Perpendicularitate

Dreaptă perpendiculară pe un plan

Ne amintim!

Două drepte sunt perpendiculare dacă măsura unghiului dintre ele
este de 90°.
a ⊥ b ⇔ ∢(a, b) = 90°
Reflectăm! Exersăm împreună!

În problema alăturată observăm că, prin
construcţia (definiţia) piramidei regu- Reluăm ultima problemă din lecţia anterioară şi
late, dreapta VO este perpendiculară pe o extindem cu o cerinţă:

orice dreaptă din planul bazei. În cadrul Considerăm piramida patrulateră regulată
demonstraţiei a fost utilă proprietatea VABCD şi punctul O , centrul pătratului ABCD .
punctului O de a fi centrul de simetrie al a) Demonstrați că VO ⊥ AC şi VO ⊥ BD .

pătratului ABCD , precum şi congruenţa fe- b) Determinați măsura unghiului dintre
ţelor piramidei.
Să considerăm două drepte concurente dreptele VO şi AB .

a ∩ b = {O} , planul α determinat de ele şi o c) Determinați măsura unghiului dintre VO şi

dreaptă d , astfel încât O ∈ d , d ⊥ a şi d ⊥ b . o dreaptă oarecare situată în planul (ABC) .

Pe dreapta a considerăm punctele A şi C Rezolvare.

simetrice faţă de O , iar pe dreapta b punc- a) ΔVAC este isoscel, VO este

tele B şi D simetrice faţă de O . Dacă V este

un punct oarecare al dreptei d , piramida mediană, deci şi înălțime, aşa-

VABCD nu este o piramidă regulată, dar păs- dar VO ⊥ AC ; în mod analog se
trează o parte dintre proprietăţile unei astfel demonstrează VO ⊥ BD .
de piramide (muchii laterale opuse congru- b) Construim prin O pa-

ente, feţe laterale opuse congruente, O cen- ralela MN ∥ AB , M ∈ AD şi

trul de simetrie al paralelogramului ABCD ). N ∈ BC (deci mijloacele laturilor

Completaţi figura următoare şi, folosind
strategia de rezolvare a problemei alăturate, respective!).

demonstraţi că dreapta d este perpendicu- ΔVAD ≡ ΔVBC ⇒ VM ≡ VN – sunt mediane corespunzătoare laturilor

lară pe orice dreaptă din planul α . congruente AD şi BC ; MO ≡ ON (demonstrați), VO este mediană în ΔVMN
isoscel, deci VO ⊥ MN .
În concluzie ∢(VO, AB ) = ∢(VO, MN ) = 90° sau, altfel spus, dreptele VO

şi AB sunt perpendiculare.
c) Construim prin O o paralelă la dreapta d care intersectează două

dintre laturile opuse ale pătratului în punctele E şi F . Obținem astfel că VO
este mediană (demonstrați!) în ΔVEF isoscel (demonstrați!), deci VO ⊥ EF
şi, cum EF ∥ d , rezultă că VO şi d sunt perpendiculare.

Despre dreapta VO putem spune că este perpendiculară pe orice dreaptă

din planul bazei piramidei.