Page 146 - matematica-viii
P. 146
144 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4
Exersăm împreună!
Activitate în echipe În paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’,
AB = 8 cm , AD = 5 cm şi AA’ = 12 cm . Punctul M este
În cadrul primelor două cerinţe ale pro-
blemei alăturate, calculul distanţei s-a situat pe segmentul AB’ astfel încât MB’ = 3AM .
bazat pe identificarea perpendicularei din Calculați:
punctul respectiv pe plan, ca segment sau a) d (A’, (ABC)) ; b) d (C, (ABB’)) ; c) d (M, (A’B’C’)) .
dreaptă deja construite, şi pe demonstra- Rezolvare. a) A’A ⊥ (ABC) (demonstrați) ⇒
rea perpendicularităţii. La a treia cerinţă a ⇒ d (A’, (ABC)) = A’A = 12 cm ;
fost necesară construirea perpendicularei.
Un prim pas în acest demers a fost identi- b) CB ⊥ (ABB’) (demonstrați) ⇒ d (C, (ABB’)) = CB = 5 cm ;
ficarea unei perpendiculare pe plan, deja c) Observăm că AA’ ⊥ (A’B’C’) şi construim MN ∥ AA’ , N ∈ A’B’ , ob-
existentă în figură, şi construcţia paralelei ținând astfel că MN ⊥ (A’B’C’) ⇒ d (M, (A’B’C’)) = MN ; aplicând teorema
la aceasta. fundamentală a asemănării în ΔB’AA’ , MN ∥ AA’ , obținem MN = 9 cm .
Folosind ideea de rezolvare a punctului Verificați calculul şi finalizați rezolvarea.
c), studiaţi construcţiile necesare pentru
determinarea distanţei de la punctul M la
celelalte feţe ale cubului. Comparaţi stra- Înălțimea unei piramide. Înălțimea unui con circular drept
tegiile şi desenele cu ale altor echipe.
Definiție
Numim înălţime a unei piramide distanța de la
vârful acesteia la planul bazei.
Înălțimea piramidei din figura alăturată este re-
Reflectăm!
prezentată de segmentul VO , determinat de vârful
Într-o piramidă, piciorul perpendicularei piramidei şi piciorul perpendicularei duse din vârf pe
din vârf pe planul bazei poate să fie situat planul bazei. Prin înălţime a piramidei vom înțelege,
în exteriorul poligonului bazei, în interio- după caz, atât segmentul VO , cât şi lungimea acestuia.
rul acestuia, pe una dintre muchii sau să Numim înălţime a unui con distanța de la vârful
reprezinte unul dintre vârfurile bazei.
acestuia la planul bazei.
Într-un con circular drept, perpendiculara dusă
din vârf pe planul bazei trece prin centrul cercului
bazei. Înălțimea conului circular drept din figura
alăturată este reprezentată de segmentul VO . Prin
înălţime a conului vom înțelege, după caz, atât seg-
mentul VO , cât şi lungimea acestuia.
Pentru triunghiul dreptunghic VOA din reprezentarea conului circular
drept, stabiliți printr-o formulă legătura dintre generatoare, rază şi înălțime.
Exersăm împreună!
Considerăm piramida triunghiulară regulată
VABC şi înălțimea VO , VO ⊥ (ABC) , O ∈ (ABC) .
a) Demonstrați că OA ≡ OB ≡ OC .
_
b) Dacă AB = 6 √ cm şi VA = 9 cm , calculați
3
înălțimea VO a piramidei.
Rezolvare.
a) VO ⊥ (ABC) ⇒ VO ⊥ OA , VO ⊥ OB şi VO ⊥ OC .
VO ≡ VO C.I.
⇒ ΔVOA ≡ ΔVOB ⇒ OA ≡ OB şi
VA ≡ VB }
analog se obține OA ≡ OC
