Page 145 - matematica-viii

UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 143

7. Pe planul triunghiului isoscel ABC , AB = AC , se ridică perpendiculara AD , D ∉ (ABC) . Demonstrați că:
a) DB ≡ DC ; b) AD ⊥ BC ; c) BC ⊥ (DAE) , unde E este mijlocul segmentului BC .

8. În vârful B al triunghiului dreptunghic ABC , ∢A = 90° , se ridică perpendiculara BM ⊥ (ABC) , M ∉ (ABC) . Demon-
strați că CA ⊥ (MAB) .
9. Considerăm pătratul ABCD şi punctul M ∉ (ABC) astfel încât MA ⊥ (ABC) . Demonstrați că:
a) BA ⊥ (MAD) ; b) CB ⊥ (MAB) ; c) DB ⊥ (MAC) ;
d) NO ⊥ (ABC) , unde N este mijlocul segmentului MC , iar O este centrul pătratului ABCD .
10. În tetraedrul ABCD , AC ≡ AD , BC ≡ BD , iar M este mijlocul muchiei CD . Demonstrați că CD ⊥ (MAB) .

11. Considerăm triunghiul dreptunghic ABC , ∢A = 90° , în care AB = 6 cm şi AC = 8 cm . Pe planul triunghiului se
ridică perpendiculara AM , iar M ∉ (ABC), AM = 6 cm .
a) Demonstrați că BA ⊥ MC . b) Calculați lungimea segmentului MB .
c) Demonstrați că triunghiul MBC este isoscel, dar nu echilateral.
12. Pe planul triunghiului echilateral ABC , cu latura de 6 cm, se ridică o perpendiculară în punctul A , pe care se
alege punctul D astfel încât AD = 3 cm .
a) Demonstrați că ΔDBC este isoscel. b) Demonstrați că DM = AB , unde M este mijlocul segmentului BC .
_
13. Considerăm un dreptunghi ABCD , AB = 4 √ cm , AD = 4 cm şi un punct M ∉ (ABC) astfel încât MA ⊥ (ABC) şi

3

AM = 4 cm .
a) Calculați MB , MC , MD şi MO , unde {O} = AC ∩ BD .
b) Determinați poziția punctului E ∈ AC astfel încât DE ⊥ (MAC) .
14. Pe planul hexagonului regulat ABCDEF , AB = 6 cm , se ridică perpendiculara AM , M ∉ (ABC) , astfel încât triun-
ghiul MBF este echilateral. _
a) Demonstrați că AM = 6 √ cm . b) Calculați MC şi MD . c) Demonstrați că DB ⊥ (MAB) .

2

Aplicații
Distanța de la un punct la un plan
Rețineți!

ÎN PLAN ÎN SPAȚIU
Teoremă. Teoremă.
În plan, prin orice punct al Prin orice punct al spațiului
acestuia putem construi o singură putem construi o singură perpen-
perpendiculară pe o dreaptă diculară pe un plan dat.
dată.
Punctul A’ (intersecția Punctul A’ (intersecția
dintre dreaptă şi perpen- dintre plan şi perpendi-
diculară) se numeşte culară) se numeşte
piciorul perpendicularei piciorul perpendicularei
din punctul A pe dreapta d . din punctul A pe planul α .

Definiție. Definiție.
Numim distanţa de la un punct la o dreaptă dis- Numim distanţa de la un punct la un plan distanța de la
tanța de la punct la piciorul perpendicularei din punct la piciorul perpendicularei din punct pe plan.

punct pe dreaptă. d(A, α ) = AA’ , AA’ ⊥ α , A’ ∈ α
d(A, d ) = AA’ , AA’ ⊥ d , A’ ∈ d Dacă A ∈ α , atunci d(A, α ) = 0 (deoarece A = A').
Dacă A ∈ d , atunci d(A, d ) = 0 (deoarece A = A').