Page 149 - matematica-viii
P. 149
UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 147
Exersăm împreună!
Un trunchi de con circular drept are raza bazei mari de 12 cm, raza bazei mici de 8 cm şi
_
generatoarea de √ 65 cm . Calculați:
a) înălțimea trunchiului de con; b) înălțimea conului din care provine trunchiul.
Rezolvare:
a) AC = AO − OC = 12 − 8 = 4 cm ; teorema lui Pitagora în ΔA'AC : A'C = 7 cm
_
8 _
_
VO’
b) _ = A’O’ (justificați) ⇔ VO’ = ⇒ VO’ = 14 cm , deci înălțimea conului este de 21 cm.
VO AO VO’ + 7 12
Exersați
1. Considerăm prisma triunghiulară regulată ABCA’B’C’ , AB = 6 cm şi punctul D , mijlocul segmentului B’C’ .
a) Demonstrați că A’D ⊥ (BCC’) . b) Calculați distanța de la A’ la planul (BCC’) .
_
3
c) Calculați înălțimea prismei, ştiind că AD = 6 √ cm .
d) Punctele M şi N împart segmentul AD în trei segmente congruente. Determinați înălțimile celor două prisme
obținute în urma secționării prismei cu un plan paralel cu bazele, care conține punctul M .
2. Fie O centrul triunghiului echilateral ABC şi un punct V aparținând perpendicularei în O pe planul triunghiului.
_
7
Latura triunghiului ABC este de 12 cm, iar lungimea segmentului VA este de 4 √ cm. Punctul M este situat pe
_
muchia laterală VA , astfel încât AM = √ cm .
7
a) Demonstrați că VA ≡ VB ≡ VC . b) Calculați înălțimea piramidei.
c) Calculați distanța de la M la planul (ABC) .
d) Ce sunt cele două corpuri obținute prin secționarea piramidei VABC cu un plan paralel cu (ABC) , construit prin
punctul M ? Determinați înălțimile acestora (ca lungimi).
3. Considerăm piramida patrulateră regulată SABCD şi înălțimea ei SO , O ∈ (ABC) .
a) Demonstrați că O este centrul pătratului ABCD . _
6
b) Calculați înălțimea piramidei dacă AB = 14 cm şi SA = 7 √ cm .
c) Prin punctul O’ ∈ SO , cu SO’ = 4 cm , construim un plan α paralel cu baza. Calculați înălțimea, muchia şi latura
bazei mici a trunchiului de piramidă obținut în urma secționării piramidei SABCD cu planul α .
4. Calculați înălțimea unui con circular drept, ştiind că lungimea generatoarei acestuia este de 14 cm, iar lungi-
mea razei bazei este de 10 cm. Determinați aria secțiunii şi înălțimea trunchiului de con obținute în urma secțio-
nării conului printr-un plan ce conține un punct al generatoarei care împarte generatoarea în raportul 2/3.
5. Într-un trunchi de con circular drept, raza bazei mari este de 9 cm, raza bazei mici este de 3 cm, iar înălțimea
trunchiului este de 8 cm. Calculați înălțimea şi generatoarea conului din care provine trunchiul.
6. Pe planul dreptunghiului ABCD , AB = 11 cm şi BC = 7 cm , se ridică perpendicularele AA’ şi BB’ , cu A’ ∉ (ABC) şi
B’ ∉ (ABC) . Demonstrați că planele (AA’D) şi (BB’C) sunt paralele şi calculați distanța dintre ele.
7. Considerăm un cub ABCDA’B’C’D’ cu latura de 8 cm. Calculați:
a) d(A, CD) ; b) d(B’, CC’) ; c) d(A’, B’D’) ; d) d (A’, (BCC’)) ; e) d (C, (ABB’)) ; f) d(AA’, BB’) ;
g) d(AA’, CC’) ; h) d(A’C’, AC) ; i) d ((ABC ) , (B’C’D’)) ; j) d ((A’AD ) , (C’CB)) ; k) d ((A’B’C’ ) , (D’C’A’)) .
8. Un cilindru circular drept cu înălțimea OO’ = 21 cm este secționat cu un plan paralel cu bazele, care intersectează
înălțimea OO’ în punctul M astfel încât 2OM = 5MO’ . Calculați înălțimile celor doi cilindri obținuți în urma secționării.
9. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată este secționat cu un plan ce conține mijlocul înălțimii trunchiului.
Dacă notăm cu S şi S aria bazei mari, res pectiv aria bazei mici a trunchiului de piramidă, şi cu S aria secțiunii, de-
_
_
_
B
b
S
S
monstrați relația √ + √ = 2 √ . Se păstrează relația dacă trunchiul de piramidă regulată are bazele triunghiuri?
S
B
b
10. Dacă o dreaptă d este paralelă cu un plan α , demonstrați că distanța de la orice punct al dreptei d la planul α
reprezintă un segment de lungime constantă.
11. Dacă două plane α şi β sunt paralele, iar A şi B sunt două puncte din planul α , demonstrați că distanțele de la
punctele A şi B la planul β sunt egale.
