Page 150 - matematica-viii

148 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Aplicație practică Plane perpendiculare
Folosind plastilina, modelaţi cât mai multe
corpuri geometrice studiate. Aplicații: secțiuni diagonale, secțiuni axiale
Folosind un instrument de tăiat, tăiaţi în în corpurile studiate
câte două părţi (secţionaţi) corpurile mo-
delate. Imaginaţi tăieturile pentru a ob-
ţine, după caz: Reflectăm!
- tăieturi paralele cu baza;
- tăieturi care conţin înălţimea; Discutați despre noile corpuri obținute în urma secționării, în cazul
- tăieturi care conţin diagonale ale corpurilor. aplicației practice propuse. În ce cazuri s-au obținut părți asemenea cor-
purilor inițiale? Ce tip de suprafețe au fost obținute la tăiere?

Considerăm un plan α şi o dreaptă d perpendiculară pe acesta. Con-

struim prin dreapta d un plan β . Despre planul β spunem că este perpen-

Reflectăm! dicular pe planul α .
În definiţia 4 din cartea a XI-a din Elemen-
tele lui Euclid, acesta defineşte planele Definiție
perpendiculare astfel: Două plane sunt perpendiculare dacă
Un plan este perpendicular pe un alt plan
dacă dreptele incluse în unul dintre plane, unul dintre ele conține o dreaptă perpen-
perpendiculare pe dreapta de intersecţie a diculară pe celălalt:
planelor, sunt perpendiculare pe celălalt plan. β ⊥ α dacă există d ⊂ β astfel încât d ⊥ α
Comparaţi cele două definiţii şi expli-
caţi de ce prima definiţie acoperă defini-
ţia dată de Euclid. Faceţi o analogie între
aceste definiţii şi definiţia şi proprietăţile
dreptei perpendiculare pe plan!

Rețineți!

Reținem o serie de consecințe ale teoremelor şi definițiilor perpen-
Atenție! dicularității în spațiu:
Dacă două plane sunt perpendiculare, atunci o perpendiculară con-
Reţineţi că, pentru a demonstra că o strui tă dintr-un punct oarecare al unuia dintre plane pe celălalt plan este
dreaptă este perpendiculară pe un plan:
- este necesar ca dreapta să fie perpen- inclusă în primul plan.
diculară pe cel puţin o dreaptă din planul Dacă două plane sunt perpendiculare, atunci o perpendiculară con-
respectiv; strui tă dintr-un punct al unuia dintre plane pe dreapta de intersecţie a
- este suficient ca dreapta să fie perpendi- celor două plane este perpendiculară pe al doilea plan.
culară pe toate dreptele planului;
- este necesar și suficient ca dreapta să fie
perpendiculară pe exact două drepte con-
curente conţinute în plan. Exersăm împreună!
Formulaţi enunţuri similare de tip necesar
– suficient în raport cu demonstraţia per-
pendicularităţii a două plane! Considerăm prisma patrulateră regulată

ABCDA’B’C’D’ . Demonstrați că (AA’B’) ⊥ (ABC) şi
că (ACC’) ⊥ (ABC) .

Indicaţie. Planele (AA’B’) şi (ACC’) conțin
dreapta A’A ⊥ (ABC) .
Reflectăm!
Planul (ACC’) determină în prisma dată sec-

țiunea ACC’A’ , numită secţiune diagonală. Drept-
Explicaţi de ce în prismele triunghiulare nu

există secţiuni diagonale! unghiul BDD’B’ reprezintă altă secţiune diagonală a
prismei. Precizați alte secțiuni diagonale prin prismă.