Page 152 - matematica-viii

150 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Exersați

1. În figura alăturată sunt reprezentate semidreptele OA , OB şi OC , perpendiculare două

câte două. Demonstrați că planele (AOB) , (AOC) şi (BOC) sunt, două câte două perpen-

diculare. Dacă M este un punct oarecare al dreptei AB , demonstrați că (COM ) ⊥ (AOB) .
2. Considerăm prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C' şi punctul M , mijlocul seg-

mentului B'C' . Demonstrați că:
a) (A'AB ) ⊥ (ABC) ; b) (A'AM ) ⊥ (BCC') ; c) (A'MB ) ⊥ (BCC') .

3. Considerăm piramida triunghiulară regulată SABC , punctul M , mijlocul laturii AB şi N un punct oarecare al

segmentului SC . Demonstrați că (SAB ) ⊥ (SMC) , (SMC ) ⊥ (ABC) şi (SMC ) ⊥ (ABN) .

4. În figura alăturată sunt reprezentate un pătrat ABCD şi ΔEAB isoscel,

EA ≡ EB , situate în plane perpendiculare. Ştiind că AB = 10 cm şi EA = 13 cm,

calculați distanța de la E la planul (ABC) şi distanța de la C la planul (EAB) .

5. O prismă patrulateră regulată are latura bazei de 8 cm şi înălțimea
_

de 8 √ cm . Demonstrați că secțiunea diagonală a prismei este un pătrat.
2

6. Considerăm prisma patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ şi punctele {O} =

= AC ∩ BD , {O’} = A’C’ ∩ B’D’ , M mijlocul laturii AB şi N un punct situat pe la-
tura AB , diferit de M . Determinați ce figură geometrică este secțiunea obți-
nută şi ce corpuri geometrice se obțin în urma secționării prismei în fiecare
dintre următoarele situații:
a) secționăm prisma corespunzător planului care conține muchia AA’ şi diagonala AC’ ;
b) secționăm prisma corespunzător planului care conține muchia AB şi diagonala AC’ ;
c) secționăm prisma corespunzător planului care conține punctul M şi dreapta OO’ ;
d) secționăm prisma corespunzător planului care conține punctul N şi dreapta OO’ .

7. Considerăm prisma hexagonală regulată ABCDEFA’B’C’D’E’F’ şi planele α = (AA’, CC’) , β = (AA’, DD’) şi

δ = (AA’, EE’) . Demonstrați că cele trei plane sunt perpendiculare pe planul bazei prismei. Determinați ce figură
geometrică este secțiunea obținută şi ce corpuri geometrice se obțin în urma secționării prismei cu:
a) planul α ; b) planul β ; c) planele α şi β ; d) planele α , β şi δ .
8. Considerăm piramida patrulateră regulată SABCD , O centrul pătratului ABCD şi M mijlocul segmentului BC.
a) Demonstrați că (SAC ) ⊥ (ABC) . b) Demonstrați că (SAC ) ⊥ (SBD) . c) Demonstrați că (SBC ) ⊥ (SOM) .
d) Explicați cum construim o perpendiculară din punc tul O pe planul (SBC) .

e) Dacă latura bazei piramidei este de 7 cm, iar aria secțiunii prin piramidă determinate de planul (SAC) este

de 35 cm , calculați înălțimea piramidei.

2

9. O secțiune axială a unui con circular drept este triunghiul echilateral VAB , V vârful conului, cu latura de 6 cm.
⏜

Desenați conul şi o altă secțiune axială a acestuia ce conține punctul C situat pe unul dintre semicercurile AB ,

⏜
⏜

astfel încât AC = 2 ⋅ CB . Calculați raza şi înălțimea conului.

10. Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu aria de 64 cm . Determinați lungimea razei şi

2
a înălțimii cilindrului. Explicați cum desenați o altă secțiune axială a cilindrului astfel încât planele celor două
secțiuni să fie perpendiculare.
Activitate în perechi
1. Folosiți cinci secțiuni printr-un con circular drept pentru a obține, după secționare, unul dintre corpuri
de tip paralelipiped dreptunghic. Ce condiție ar trebui îndeplinită de con pentru ca prin cele cinci secțiuni să se
obțină un cub (cu pierdere minimă de material)?
2. Care este valoarea de adevăr a următoarelor afirmații?
Având două plane perpendiculare, orice dreaptă inclusă în unul dintre plane este perpendiculară pe celălalt plan.
Orice două drepte situate fiecare în câte unul dintre două plane perpendiculare sunt perpendiculare.