Page 155 - matematica-viii

UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 153

 Punctele unui segment inițial se proiectează pe un plan formând un
segment, inclus în acel plan, determinat de proiecțiile capetelor segmen- Activitate în cooperare
tului inițial. Discutaţi observaţiile făcute la imaginile
 Dacă EF ∥ α , iar E’ şi F’ sunt proiecțiile capetelor segmentului EF , anterioare.

atunci EFF’E’ este un dreptunghi şi EF = E’F’ . Referitor la prima configuraţie, observând

 Dacă MN ⊥ α şi MN ∩ α = {M’} , atunci punctul M’ reprezintă proiecția că punctul A şi dreapta BB’ formează un
plan, răspundeţi la următoarele întrebări:
tuturor punctelor segmentului MN pe planul α .
Rețineți!
 Proiecția unui segment pe un plan este un segment sau un punct:

• p r AB = A’B’ , A’ = p r A , B’ = p r B , A’ ≠ B’ , dacă AB nu este perpen-

α
α
α
dicular pe planul α ; A ’ B ’ ≤ AB;

• p r AB = O , {O} = AB ∩ α , dacă AB ⊥ α . • Care este poziţia acestui plan faţă de pla-
α
nul α ?
• Ce legătură este între dreapta AB’ şi cele

două plane?
• De ce proiecţia punctului G este situată

pe segmentul AB’ ?
• Dacă G este mijlocul segmentului AB ,

unde se va situa G’ pe AB’ ?
• Mai general, ce puteţi afirma despre pro-
 Proiecția unei drepte pe un plan este o dreaptă sau un punct: iecţiile a trei puncte coliniare (pe un plan)?
Compuneţi un set asemănător de întrebări
• dacă o dreaptă nu este perpendiculară pe plan, proiecția sa este pentru a studia şi celelalte configuraţii.
o dreaptă determinată de proiecțiile a două puncte ale dreptei d;

p r d = e , dreapta e fiind determinată de proiecțiile A’ şi B’ ale punctelor

α
distincte A şi B de pe dreapta d ; Activitate pe grupe
• dacă o dreaptă d este perpendiculară pe plan, proiecția sa este
punctul de intersecție al dreptei cu planul; d ⊥ α, d ∩ α = {O} , p r d = O . Folosind desenul cubului de la problema

α
alăturată formulaţi, lucrând pe grupe, raţi-
onamente pentru a determina următoa-
rele proiecţii de segmente: p r (ABC) AB’ ;
p r (ABC) AC’ ; p r (ABC) BB’ ; p r (BCC’) AC’ . Prezentaţi-le
colegilor din celelalte grupe şi colaboraţi
pentru a obţine concluzii care sprijină în-
văţarea. Propuneţi celorlalte grupe deter-
minarea unor proiecţii de segmente pe
cubul alăturat.
Exersăm împreună! Proiect
În cubul ABCDA’B’C’D’ , determinați proiecțiile Discutaţi la nivelul clasei sau pe grupe ce
segmentului AD’ pe planele (ABC) , (CDD’) şi (BCC’) . figuri se pot obţine prin următoarele proiec-

ţii. Analizaţi situaţiile particulare de poziţio-
Rezolvare. nare a planelor figurilor în raport cu planul

D’D ⊥ (ABC ) ⇒ p r D’ = D şi cum A ∈ (ABC) ⇒ de proiecţie, construind desene corespun-
(ABC)
⇒ p r AD’ = AD ; zătoare ca parte a portofoliului personal.
(ABC)

AD ⊥ (CDD’ ) ⇒ p r A = D şi cum D’ ∈ (CDD’) ⇒ • proiecţia unui paralelogram pe un plan

(CDD’)
⇒ p r AD’ = DD’ ; • proiecţia unui dreptunghi pe un plan
(CDD’) • proiecţia unui pătrat pe un plan
AB ⊥ (BCC’) ⇒ p r (BCC’) A = B • proiecţia unui triunghi echilateral pe un plan

⇒ p r AD’ = BC’ . • proiecţia unui triunghi isoscel pe un plan
D’C’ ⊥ (BCC’) ⇒ p r (BCC’) D’ = C ’} (BCC’) • proiecţia unui triunghi dreptunghic pe un plan.
Ce reprezintă proiecția segmentului AD’ pe planul (ADD’) ? Discutaţi la nivelul clasei concluziile.