Page 156 - matematica-viii

154 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Exersați

1. Segmentul AB are capătul A situat într-un plan α şi B ∉ α . Punctul B’ este proiecția punctului B pe planul α .
Realizați un desen conform datelor problemei şi demonstrați că proiecția punctului M , mijlocul segmentului AB,
pe planul α este mijlocul segmentului AB’ .

2. Reluați problema anterioară în condițiile în care A ∉ α , iar punctele A şi B sunt situate de aceeaşi parte a pla-

nului α . Realizați un desen pentru cazul în care A şi B nu sunt situate de aceeaşi parte a planului α şi nu aparțin

planului, iar AB ∩ α = {M} , care este mijlocul segmentului AB . Identificați un paralelogram care are ca diagonală
segmentul AB . Comparați între voi identificările făcute, justificându-le.

3. Trei puncte coliniare A , B şi C se proiectează pe un plan în punctele distincte A’ , B’ , respectiv C’ . Demonstrați

AB
_
_

că = A’B’ .

BC
B’C’

4. Proiecția unui triunghi ABC pe un plan α este triunghiul A’B’C’ . Demonstrați că proiecția centrului de greutate

al triunghiului ABC pe planul α reprezintă centrul de greutate al triunghiului A’B’C’ .
5. În piramida patrulateră regulată VABCD , punctul O este centrul bazei ABCD , iar punctul M este mijlocul seg-

mentului BC . Determinați:
a) p r V ; b) p r B ; c) p r B ; d) p r VA ;
(ABC) (VAC) (VOM) (ABC)
e) p r VO ; f) p r VM ; g) p r VB ; h) p r AB ; i) p r VB .
(ABC) (ABC) (VAC) (VAC) (VOM)

6. În piramida triunghiulară regulată VABC , punctul O este centrul bazei ABC , iar punctul M este mijlocul seg-

mentului BC . Determinați:
a) p r V ; b) p r AV ; c) p r VM ; d) p r AC ; e) p r VB ; f) p r BC .
(ABC) (ABC) (ABC) (VAM) (VAM) (VAM)
7. În prisma triunghiulară ABCA’B’C’ , punctele M şi M’ sunt mijloacele segmentelor BC , respectiv B’C’ . Determinați:

a) p r AB’ ; b) p r CB’ ; c) p r A’M ; d) p r A’B’ ; e) p r AA’ ; f) p r AB’ .
(ABC) (ABC) (ABC) (ABC) (BCC’) (AMM’)
8. În prisma patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ , punctele O şi O’ sunt centrele bazelor. Determinați:
a) proiecția lui AD’ pe planele (ABC) , (A’B’C’) , (BCC’) şi (ABB’) ;
b) proiecția lui BD’ pe planele (ABC) , (A’B’C’) , (ADD’) şi (ABB’) ;
c) proiecția pe planul (BDD’) a segmentelor AA’ , AD’ , AB şi AD .

9. Considerăm cubul ABCDA'B'C'D' , AB = 6 cm şi punctul M mijlocul laturii B'C' . Determinați lungimile proiecțiilor:
a) p r (ABC) AB' ; b) p r (ABC) AC' ; c) p r (ABC) A'C' ; d) p r (ABC) AM ; e) p r (DCC') AM .
10. Considerăm piramida patrulateră regulată VABCD , cu toate muchiile de lungime 8 cm, şi O centrul bazei ABCD .

Demonstrați că lungimile proiecțiilor p r (ABC) VA , p r (VAC) AB şi p r (VAC) VB sunt egale.

11. Triunghiul echilateral ABC , cu latura de 10 cm, are latura BC inclusă într-un plan α şi punctul A ∉ α . Punctul

A’ este proiecția punctului A pe planul α .
a) În ce condiții A’ ∈ BC ? b) Dacă ∢BA’C = 90° , calculați AA’ . c) Poate fi măsura unghiului BA’C de 60 ° ?
12. Dacă a şi b sunt două drepte paralele, ce puteți spune despre proiecțiile lor pe un plan α ?
13. Unghiul ABC are măsura de 90° şi latura AB paralelă cu un plan α . Punctele A’ , B’ şi C’ sunt proiecțiile punc-

telor A , B , respectiv C pe planul α . Demonstrați că: a) AB ⊥ (BCC’) ; b) ∢A’B’C’ = 90° .

14. Considerăm un plan α şi două drepte perpendiculare a şi b neconținute în acesta. Dacă proiecțiile dreptelor a

şi b pe planul α sunt perpendiculare, demonstrați că a ∥ α sau b ∥ α .

15. Secționăm piramida patrulateră regulată VABCD cu un plan paralel cu baza ce conține mijlocul înălțimii şi fie
A’B’C’D’ secțiunea obținută.
a) Ce figură geometrică este proiecția patrulaterului A’B’C’D’ pe planul (ABC) ?
b) Calculați aria proiecției patrulaterului A’B’C’D’ pe planul (ABC) , ştiind că AB = 16 cm .

16. Considerăm un plan α şi punctele distincte A , B , C astfel încât A = p r B şi AC ⊂ α .
α
a) Demonstrați că B ∉ α şi că (ABC) ⊥ α .
b) Dacă D este un punct astfel încât DC ⊥ (ABC) , demonstrați că D ∈ α şi calculați măsura unghiului dintre drep-

tele AB şi CD .