Page 157 - matematica-viii

UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 155

Unghiul dintre o dreaptă şi un plan

Exersăm împreună!

În cubul ABCDA’B’C’D’ , dreapta A’B formează:
• cu AB un unghi cu măsura de 45°;
• cu BD un unghi cu măsura de 60° ( ΔA’BD este echilateral);
• cu BC un unghi drept.
Dintre cele trei măsuri de unghiuri formate de A’B cu cele trei drepte

din planul (ABC) , cea mai mică este cea formată cu proiecția dreptei A’B
pe planul (ABC) .

Definiție
Unghiul dintre o dreaptă care nu Dacă dreapta este per- Dacă dreapta este paralelă
este perpendiculară pe un plan şi pendiculară pe plan, atunci cu planul sau inclusă în acesta,
planul respectiv este unghiul dintre unghiul dintre dreaptă şi atunci măsura unghiului dintre
acea dreaptă şi proiecția ei pe plan. plan este unghi drept. dreaptă şi plan este de 0°.

Dacă d ⊥ α , Dacă d ⊥ α , Dacă d ∥ α ,
⧸

∢(d, α) = ∢(d, e) , unde e = p r d . atunci ∢(d, α) = 90° . ∢(d, α ) = 0° sau e ⊂ α ,

α
∢(e, α ) = 0° .

Exersăm împreună!
Reflectăm!

Considerăm un plan α şi seg- În aplicaţia alăturată se stabileşte o ana-

mentul AB , A ∈ α şi B ∉ α . Punctul logie între distanţa de la un punct la un

C este proiecția punctului B pe pla- plan şi măsura unghiului dintre o dreaptă

nul α , deci AC este proiecția lui AB şi un plan. Astfel, aşa cum distanţa de la
pe planul α . În planul α considerăm un punct la un plan este cea mai mică din-

o dreaptă diferită de AC şi un punct tre distanţele de la respectivul punct la

E pe aceasta, astfel încât BE ⊥ AE . punctele din plan, la fel măsura unghiului

dintre o dreaptă şi un plan este cea mai
Comparați măsurile unghiurilor mică dintre măsurile unghiurilor formate
BAC şi BAE . de acea dreaptă cu dreptele din planul dat.
Rezolvare.
BC
BE
_
_

.
În ΔBAC , ∢C = 90° , sin BAC = , iar în ΔBAE , ∢E = 90° şi sin BAE =

AB
AB
BC ⊥ α ⇒ BC < BE (justificați), deci sin BAC < sin BAE , ceea ce implică faptul

că ∢BAC < ∢BAE .