Page 158 - matematica-viii

156 Elemente ale geometriei în spațiu UNITATEA 4

Rețineți!

 Măsura unghiului dintre o dreaptă şi un plan este cuprinsă între 0° şi 90°, putând lua inclusiv valorile de
0° (dreaptă paralelă cu planul sau inclusă în plan) şi de 90° (dreaptă perpendiculară pe plan).
 Unghiul dintre o dreaptă şi un plan este cel mai mic dintre unghiurile formate de acea dreaptă cu drep-
tele din planul dat.

Reflectăm! Exersăm împreună!

Discutaţi în perechi legătura între poziţia Considerăm o piramidă patrulateră VABCD
unei drepte faţă de un plan, proiecţiile
dreptei pe plan şi măsurile unghiului din- cu toate muchiile de lungime 10 cm, punctul O

tre dreaptă şi plan. Formulaţi fiecare câte centrul pătratului ABCD şi punctul M mijlocul

o cerinţă pentru colegul pereche. Evaluaţi segmentului BC . Determinați ∢ (VB, (ABC)) ,
răspunsul colegului. ∢ (VB, (VOM)) , ∢ (VM, (ABC)) şi măsura sau co-

sinusul acestor unghiuri.
Rezolvare
Știați că?  (ABC) VB = OB ⇒ ∢ (VB, (ABC)) = ∢VBO
r
p

;

_
_
2

2

Turnul din Pisa este cea mai faimoasă clă- BO = 5 √ cm , VO = 5 √ cm (calculați), deci
dire înclinată din lume şi punctul de reper ΔVOB este dreptunghic isoscel, ∢VBO = 45° .
r

p

al oraşului Pisa din Italia. În 1990 turnul era  (VOM) VB = VM (justificați), ∢ (VB, (VOM)) = ∢BVM = 30° .
_
aplecat la un unghi de 5,5 grade în raport  VM = OM ⇒ ∢ (VM, (ABC)) = ∢VMO OM = 5 cm , VO = 5 √ cm ,

;
2

p
r
_
cu o verticală a locului, dar în urma lucrări- (ABC) √
_
3
OM
_

3

lor de remediere, între 1993 şi 2001, acesta VM = 5 √ cm şi cos VMO = _ , deci cos VMO = .
3
VM
a fost redus la 3,97 grade. În aceste condiţii,
care este măsura unghiului dintre turn şi
planul bazei? Observații
 Dacă la determinarea măsurii unui unghi se folosesc elementele de tri-
gonometrie (sinus, cosinus, tangent sau cotangent), iar rapoartele asociate
lor reprezintă rapoarte din tabelele studiate, se va finaliza cu menționarea
uneia dintre măsurile unghiului, după caz, de 0°, 30°, 45°, 60° sau 90°; în
caz contrar, referirea la unghi se va face prin elementele de trigonometrie.
 Referitor la problema anterioară, OM este proiecția segmentului VM

pe planul bazei, iar ∢VMO este unghiul dintre VM şi planul bazei; în triun-
OM

ghiul dreptunghic VMO am stabilit relația cos VMO = _ .
VM
 Este adevărată afirmația: Măsura unghiului dintre o dreaptă şi un plan
dat este egală cu măsura unghiului dintre dreaptă şi orice alt plan paralel cu
planul dat? Argumentați.
 Discutați la nivelul clasei şi evidențiați paşii de construcție a un-
ghiului dintre o dreaptă şi un plan (dreapta nu este nici paralelă cu planul,
nici inclusă în plan). Notați paşii pe caiete!
Lungimea proiecţiei unui segment pe un plan.
Considerăm un plan α şi un seg-

ment AB astfel încât ∢(AB, α ) =

= u° ∈ (0° ; 90° ) . Dacă A’B’ este pro-
Reflectăm!

iecția segmentului AB pe planul α ,
Ce relaţie putem stabili între lungimea atunci A’B’ = AB ⋅ cos u .
segmentului AB şi lungimea proiecţiei lui Indicaţie. Construim AC ∥ A’B’,

pe un plan, A’B’ , dacă AB ∥ α ? Ce puteţi C ∈ BB’ , ∢BAC = u° şi AC = A’B’ .
spune despre A’B’ , dacă AB ⊥ α ?