Page 159 - matematica-viii

UNITATEA 4 Elemente ale geometriei în spațiu 157

Exersați

1. Care este poziția unei drepte d în raport cu un plan α , dacă:
a) ∢(d, α) = 0° ; b) ∢(d, α) = 40° ; c) ∢(d, α) = 90° ?
2. Ținem un creion cu vârful pe o masă, astfel încât lungimea proiecției lui pe masă să fie
egală cu jumătate din lungimea lui. Determinați măsura unghiului format de creion cu
planul mesei.

3. Un segment MN , cu lungimea de 12 cm, se proiectează pe un plan α după un segment M’N’ . Calculați lungimea
segmentului M’N’ în cazurile:
a) MN ∥ α ; b) ∢(MN, α) = 30° ; c) ∢(MN, α ) = 45° ; d) ∢(MN, α ) = 60° .

4. Considerăm un plan α , un segment AB exterior acestuia şi A’B’ = p r AB . Determinați lungimea segmentului

α
AB în fiecare dintre cazurile:
a) ∢(AB, α) = 0° şi A’B’ = 9 cm ; b) ∢(AB, α ) = 30° şi A’B’ = 6 cm ;
c) ∢(AB, α ) = 45° şi A’B’ = 5 cm ; d) ∢(AB, α ) = 60° şi A’B’ = 8 cm .

5. Proiecția segmentului AB pe un plan α este segmentul CD . Calculați tangenta unghiului dintre AB şi α
4 _

dacă CD = AB .
5

6. Dintr-un punct A exterior unui plan α se construiesc două oblice, care intersectează planul în punctele B şi

C . Dacă AB = 20 cm , AC = 16 cm şi proiecția segmentului AB pe plan are lungimea de 15 cm, calculați cosinusul

unghiului dintre AC şi planul α .
7. În piramida patrulateră regulată SABCD , cu O centrul bazei ABCD şi M mijlocul segmentului BC , precizați:

a) ∢ (SA, (ABC)) ; b) ∢ (SA, (SBD)) ; c) ∢ (SM, (ABC)) ; d) ∢ (SB, (SOM)) .

8. În piramida triunghiulară regulată SABC , cu O centrul bazei ABC şi M mijlocul segmentului BC , precizați:
a) ∢ (SA, (ABC)) ; b) ∢ (SM, (ABC)) ; c) ∢ (SB, (SOM)) .

9. Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi dreptunghic isoscel. Calculați măsura unghiului
dintre o generatoare a conului şi planul bazei.
_

2

10. În prisma patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ , AB = 8 cm şi AA’ = 8 √ cm , calculați:

a) măsura unghiului dintre BD’ şi (ABC) ;
b) măsura unghiului dintre BD’ şi (BCC’) ;
c) tangenta unghiului dintre AD’ şi (ABC) ;
d) lungimea proiecției segmentului AD’ pe (BDD’) .
_
11. În prisma triunghiulară regulată ABCA’B’C’ , AB = 8 cm , AA’ = 8 √ cm , punctul M este mijlocul laturii BC .

3

a) Determinați măsura unghiului dintre AC’ şi (ABC) .
b) Determinați tangenta unghiului dintre C’M şi (ABC) .
c) Demonstrați că AM ⊥ (BCC’) .
d) Determinați lungimea proiecției segmentului AC’ pe (BCC’) .
e) Calculați sinusul unghiului dintre AC’ şi (BCC’) .

12. În piramida triunghiulară VABC , muchiile laterale formează cu planul (ABC) unghiuri cu măsuri egale. De-
monstrați că fețele laterale sunt triunghiuri isoscele şi că piciorul înălțimii din V pe baza ABC este centrul cer-

cului circumscris triunghiului ABC .