Page 183 - matematica-viii
P. 183
UNITATEA 5 Arii și volume ale unor corpuri geometrice 181
Aria şi volumul piramidei și ale trunchiului de piramidă regulată
Aria şi volumul piramidei
Ne amintim!
O piramidă are feţele laterale triunghiuri, iar baza un poligon.
Definiţie
Arialaterală a unei piramide este suma ariilor feţelor laterale. Convenţii și notaţii
Ariatotală a unei piramide este suma ariilor tuturor feţelor.
,
Aria totală este suma dintre aria laterală şi aria bazei. La piramidă notăm, în general, cu A A și
b
l
A aria bazei, aria laterală, respectiv aria
t
totală, acestea fiind în relația: A = A + A
t l b
Exersăm împreună!
Reflectăm!
Considerăm piramida patrulateră regulată În problema alăturată, să notăm cu l
VABCD , cu AB = 10 cm şi apotema VM = 6 cm , lungimea laturii pătratului și cu a apo-
p
M mijlocul laturii BC . Calculaţi: tema piramidei. Aria feței VBC va fi egală
l ⋅ a
l ⋅ a
a) aria ΔVBC ; cu p iar aria laterală va fi A = 4 ⋅ p =
_
_
,
2
2
l
b) aria laterală a piramidei; = 2 ⋅ l ⋅ a Baza piramdei fiind un pătrat, 4l
.
p
c) aria totală a piramidei. reprezintă perimetrul bazei, deci A = P ⋅ a
b _
,
p
Rezolvare. a) Baza ABCD este pătrat, deci în care am notat cu P perimetrul bazei. 2
l
b
BC = AB = 10 cm şi VM este înălţime în ΔVBC , Se modifică această formulă dacă poligo-
_
aşadar A ΔVBC = BC ⋅ VM ⇔ A ΔVBC = 30 cm . nul bazei este un triunghi echilateral? Dar
2
2
b) Într-o piramidă regulată feţele laterale sunt triunghiuri congru- dacă este un hexagon regulat sau un poli-
gon regulat oarecare?
ente, deci A = 4 ⋅ A ⇒ A = 120 cm .
2
l ΔVBC l
c) A = A B ⇔ A = 100 cm , deci A = A + A ⇔ A = 220 cm .
2
2
2
ABCD ABCD t l ABCD t Activitate practică
Dintr-un carton mai gros construiți o pi-
Reţineţi! ramidă patrulateră regulată, fără a lipi și
baza, și o prismă patrulateră regulată, fără
baza superioară, ambele cu aceeași înăl-
Arialateralăauneipiramideregulate este egală cu jumătate din pro- țime și cu bazele pătrate congruente. Um-
P ⋅ a
,
dusul dintre perimetrul bazei şi apotema piramidei: A = b _ p unde am pleți piramida cu nisip și vărsați conținutul
l 2
notat cu P perimetrul bazei şi cu a apotema piramidei. în prismă. Repetați
b p operația până când
prisma se umple.
Ce constatați?
Exersăm împreună!
În piramida hexagonală regulată VABCDEF , latura bazei este de
_
3
8 cm, iar înălţimea de 3 √ cm . Calculaţi aria laterală şi aria totală a sa.
Rezolvare. _
3
În hexagonul regulat ABCDEF , apotema OM = 4 √ cm ; apotema pira-
_
midei, VM , calculată din triunghiul dreptunghic VOM , este VM = 5 √ cm .
3
P ⋅ VM _
A = _ ⇒ l 3 2
A = 120 √ cm ;
ABCDEF
2
l
_ _
A = 96 √ cm , iar A = A + A ⇒ A = 216 √ cm .
3
3
2
2
b t l b t
