Page 184 - matematica-viii
P. 184
182 Arii și volume ale unor corpuri geometrice UNITATEA 5
Observaţii Reţineţi!
Considerăm un cub ABCDEFGH și pirami- Volumul unei piramide este o treime din produsul dintre aria bazei şi
,
dele patrulatere EABCD EBCGF și ECGHD . înălţimea piramidei.
Observați în desenul următor modul în A ⋅ h
b
care cele trei piramide compun cubul. Jus- V = _
3
tificați congruenţa celor trei piramide și
observați că volumul fiecăreia dintre ele
este egal cu o treime din volumul cubului. Exersăm împreună!
1. În piramida triunghiulară regulată VABC se cunosc latura bazei
AB = 12 cm şi muchia laterală VA = 8 cm . Calculaţi aria laterală, aria totală
şi volumul piramidei.
Rezolvare. Fie M mijlocul segmentului BC şi VM apotema piramidei.
_
Calculând VM în triunghiul dreptunghic VMB : VM = 2 √ cm (verificaţi!)
7
_
_
P
⋅ VM
7
ΔABC
A = _ ⇒ A = 36 √ cm ; A = 36 √ cm ,
3
2
2
l 2 _ l _ b
7
3) cm .
deci A = 36 ( √ + √ 2
t
Pentru calculul volumului este necesar să
determinăm înălţimea piramidei.
În triunghiul echilateral ABC :
_ _
2 _
3
3
AM = 6 √ cm , deci AO = ⋅ AM = 4 √ cm .
3
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul
dreptunghic VOA , obţinem VO = 4 cm . Aşadar
A ⋅ VO _
V = _ 3 3
ΔABC
⇒ V = 48 √ cm .
3
2. Considerăm cubul ABCDA’B’C’D’ cu la-
Reflectăm!
tura de 6 cm.
În clasele anterioare ați învățat că pentru a) Calculaţi volumul tetraedrului B’ABC .
calculul ariei unui triunghi putem folosi b) Calculaţi distanţa de la punctul B la pla-
oricare dintre laturile sale, asociind înăl- nul (B’AC) .
țimea corespunzătoare. Mai mult, folosind Rezolvare.
formula ariei triunghiului ați dedus că a) Tetraedrul B’ABC , cu baza triunghiul
înălțimile unui triunghi sunt invers propor-
ționale cu lungimile laturilor corespunză- dreptunghic ABC , are înălţimea B’B = 6 cm ;
1 _
toare: a ⋅ h = b ⋅ h = c ⋅ h c . A = ⋅ A = 18 cm ⇒ V = A ΔABC ⋅ B’B ⇒ V = 36 cm .
_
3
2
a
b
Deduceți o regulă și o formulă asemănă- ΔABC 2 ABCD B’ABC 3 B’ABC
toare pentru un tetraedru. b) Distanţa de la B la planul (B’AC) reprezintă înălţimea corespun-
zătoare bazei B’AC în tetraedrul B’ABC , pe care o notăm cu h . Folosind
⋅ h
A
ΔB’AC
valoarea volumului calculată la punctul anterior, avem V = _ ⇔
_ _ B’ABC _ 3
3
_
3
3
⇔ 36 = 18 √ ⋅ h şi obţinem h = 2 √ cm , deci d (B, (B’AC)) = 2 √ cm .
3
