Page 185 - matematica-viii

UNITATEA 5 Arii și volume ale unor corpuri geometrice 183

Aria şi volumul trunchiului de piramidă regulată

Ne amintim!

Corpul geometric format prin secţionarea unei piramide cu un plan
paralel cu baza şi înlăturarea piramidei mici obţinute se numeşte trunchi
de​piramidă.
Într-un trunchi de piramidă regulată:
 feţele laterale sunt trapeze isoscele congruente;
 înălţimea unei feţe laterale este apotema trunchiului;
 înălţimea trunchiului de piramidă este determinată de centrele ba-
zelor acestuia.
Conform notaţiilor din desenul alăturat, au loc egalităţile:
VO’
A’B’
_
_
VA’ = _ = _ = VM’

= k , unde k reprezintă raportul​de​asemănare​dintre

AB
VO
VM
VA
lungimile corespunzătoare din piramida obţinută prin secţionare şi pi-
ramida iniţială. Raportul este util în calcule şi raţionamente care implică
cele trei corpuri (cel iniţial şi cele obţinute prin secţionare).
Exersăm împreună!

Trunchiul de piramidă patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ este obţinut
prin secţionarea piramidei patrulatere regulate VABCD cu un plan paralel cu

baza. Punctele O şi O’ sunt centrele celor două baze, AB = 12 cm , A’B’ = 4 cm şi
AA’ = 8 cm . Calculaţi:
a) aria feţei BCC’B’ ;
b) aria laterală a trunchiului de piramidă;
c) înălţimea OO’ a trunchiului de piramidă;
d) înălţimea piramidei VABCD ;
e) volumul piramidei VA’B’C’D’ ;
f) volumul trunchiului de piramidă.
Rezolvare. Observaţi desenul alăturat şi cele două trapeze dreptunghice evi-
denţiate. Recapitulaţi etapele de calcul al elementelor în trunchiul de piramidă.

a) Notând cu M şi M’ mijloacele segmentelor BC , respectiv B’C’ , segmentul MM’ reprezintă apotema trun-

chiului de piramidă, dar şi înălţimea trapezului BCC’B’ .
_ (BC + B’C’) ⋅ M’M _
M’M = 4 √ cm (verificaţi calculele!), A BCC’B’ = _ ⇒ A BCC’B’ = 32 √ cm .

3

3

2
2
_
b) A = 4 ⋅ A ⇒ A = 128 √ cm şi observăm că:

3

2
l BCC’B’ l
+ P

) ⋅ M’M
( P

(4 ⋅ BC + 4 ⋅ B’C’) ⋅ M’M
(BC + B’C’) ⋅ M’M
A = 4 ⋅ _ ⇔ A = ____________ A = ___________

ABCD

.
A’B’C’D’

⇔

l 2 l 2 l 2
_

c) O’O = 4 √ cm (verificaţi calculele!).

2
_ _
2
A’B’
4 _
_
_

=
, deci VO = 6 √ cm .

d) Folosim relaţia VO’ = _ ⇔ VO − 4 √ 12 2
AB
VO
VO
_
2
_

e) V VA’B’C’D’ = 32 √ cm (verificaţi!).

3
3
f) Pentru a calcula volumul trunchiului de piramidă, vom scădea din volumul piramidei VABCD volumul pira-

_
_ 832 √
2

midei VA’B’C’D’ : V = 288 √ cm , deci V = _ 3

2

cm .

3
VABCD ABCDA’B’C’D’ 3