Page 190 - matematica-viii

188 Arii și volume ale unor corpuri geometrice UNITATEA 5

Aria și volumul cilindrului circular drept, ale conului circular drept

și ale trunchiului de con circular drept

Aria și volumul cilindrului circular drept

Observaţi o cutie de conservă de formă cilin-
dru circular drept, care are lipită o etichetă pe toată
suprafaţa laterală. Locul de îmbinare a marginilor
etichetei apare sub forma unui segment, acesta re-
prezentând atât o generatoare a cilindrului, notată G ,
cât şi o înălţime a cilindrului, h . Tăiaţi eticheta după
linia de îmbinare şi desfăşuraţi-o. Obţineţi astfel
desfăşurarea cilindrului circular drept sub forma
unui dreptunghi. Amintiţi-vă ce reprezintă în cilin-
drul iniţial cele două dimensiuni ale desfăşurării!

Reţineţi!

Activitate practică ◼ Aria​laterală​a​unui​cilindru​circular​drept este egală cu aria desfăşu-
Dintr-un carton mai gros construiți un ci- rării suprafeţei laterale a acestuia.

lindru circular drept cu raza bazei de 10 cm A = 2πR ⋅ G , R este raza bazei, G este generatoarea cilindrului.

l
și o prismă dreaptă cu baza un dreptunghi Aria​totală​a​unui​cilindru​circular​drept este egală cu suma dintre aria
cu dimensiunile de 20 cm și 15,7 cm, am-
bele cu aceeași înălțime. La niciunul dintre laterală şi dublul ariei bazei.
corpuri nu lipiți baza superioară. Umpleți A = A + 2 A ⇔ A = 2πRG + 2π R ⇔ A = 2πR ⋅ (R + G)

2
l
b
t
t
t
unul dintre corpuri cu nisip și vărsați conți- ◼ Volumul unui cilindru circular drept se calculează cu formula V = A ⋅ h

b
nutul în celălalt ( V = π R h ), unde am notat cu A aria bazei şi cu h înălţimea cilindrului.

2
corp. Ce consta- b
tați? Observați
că ariile bazelor
celor două cor- Exersăm împreună!
puri sunt apro-
ximativ egale. 1. Calculaţi aria laterală şi aria totală pentru un cilindru circular drept
cu raza de 20 dm şi generatoarea de 30 dm.

Rezolvare. A = 2πRG ⇒ A = 1200π dm ; A = π R ⇒ A = 400π dm ;

2
2
2
l
b
b
l

A = A + 2 A ⇒ A = 2000π dm .
2
Observaţii t l b t
2. Conductele din figura alăturată sunt rea-
Din punct de vedere al determinării ma- lizate din polietilenă (material plastic) şi sunt
tematice a valorilor ariilor de la exercițiul destinate transportului de apă. Fiecare dintre ele

rezolvat 1, rezultatele 1200π și 2000 π re- are diametrul exterior de 30 cm şi cel interior de
prezintă răspunsul corect. Din punct de 26 cm, iar lungimea este de 4 m. Estimaţi masa
vedere al utilizării practice, după caz, se
utilizează diferite aproximări ale număru- unei ţevi, ştiind că densitatea materialului folo-

3
lui irațional π . sit este de 0,97 g⁄c m . Folosiţi în calcul π ≃ 22⁄7 .
Exprimați ariile anterioare folosind dife- Rezolvare. Pentru a calcula volumul de material folosit, scădem din
rite aproximări ale numărului π ! Comparați volumul cilindrului exterior volumul cilindrului interior.
valorile obținute la utilizarea diferitelor 2 2 3

aproximări și alegeți una potrivită pentru V = π R h ⇔ V = π ⋅ 15 ⋅ 400 ⇔ V = 90000π cm .
ext
ext
ext
ext

2
2
3
a cumpăra o cantitate de vopsea necesară V = π R h ⇔ V = π ⋅ 13 ⋅ 400 ⇔ V = 67600π cm .
in t
in t
in t
in t

3
3
acoperirii suprafeței totale a cilindrului, ști- V material = V − V = 22400π cm ⇒ V material ≃ 70 400 cm , deci masa
int
ext
ind că se consumă 0,4 kg de vopsea la 1 m . 2 aproximativă a conductei este 70400 cm ⋅ 0, 97 g⁄c m = 68, 288 kg .

3
3