Page 24 - matematica-viii

22 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ UNITATEA 1

Descoperiți!
Exemple!

◼ Considerăm intervalele (− 1; 3] și [2; 4) , pe care le reprezentăm pe axa

Pereche de [− 2; 2] și (0; 5) numerelor reale:

intervale
Reuniune − 2 0 2 5
[_________]
(________)
[ − 2 __________5)
[− 2; 2] ∪ (0; 5 ) = [− 2; 5) Reuniunea a două intervale este formată din toate elementele celor

două intervale, luate o singură dată.
În exemplul asociat, reuniunea celor două intervale corespunde pro-

Pereche de [− 2; 2] și (2; 5) iecţiei celor două segmente prin care am reprezentat intervalele iniţiale,
intervale care are un capăt corespunzător lui − 1 și un capăt corespunzător lui 4.
Reuniune − 2 2 5

[_______] ◼ Considerăm intervalele (− ∞; 3] și (2; +∞) , pe care le reprezentăm pe
(____) axa numerelor reale:
[ − 2 ________5)
[− 2; 2] ∪ (2; 5 ) = [− 2; 5)

Pereche de [− 2; 2] și (−2; 1)
intervale
Pentru a stabili tipul de paranteză pentru rezultatul reuniunii se raţi-
Reuniune − 2 1 2 onează astfel:
[____________] – dacă valoarea de capăt aparţine ambelor intervale, se va utiliza pa-
(_______)
[ − 2 _________2] ranteza dreaptă;
– dacă valoarea de capăt nu aparţine niciunui interval iniţial, se va

[− 2; 2] ∪ (−2; 1 ) = [ −2; 2] utiliza paranteza rotundă;
– dacă valoarea de capăt aparţine numai unuia dintre intervale, se va
utiliza paranteza dreaptă;
– dacă valoarea de capăt a intervalului rezultat în urma operaţiei de
reuniune este + ∞ sau − ∞ , se va utiliza paranteza rotundă.
Rezultatul reuniunii a două intervale se poate scrie ca interval atunci
când intersecţia intervalelor iniţiale este diferită de mulţimea vidă. Dis-
cutaţi la nivelul clasei cazul reuniunii a două intervale disjuncte.
Exersăm împreună!

1. Scrieţi rezultatele operaţiilor de reuniune și de intersecţie pentru următoarele perechi de intervale:

a) (− 2; 2) și (− 3; 0] ; b) [− 1; 4] și [2; +∞) ; c) [− 3; 2] și [2; 5) ;

d) (− ∞; −4] și (−6; +∞ ) ; e) [− 2; 1) și (0; + ∞) ; f) (−3; −2) și (− 1; 0) .

Rezolvare:

a) (− 2; 2) ∪ (− 3; 0] = (− 3; 2) , (− 2; 2) ∩ (− 3; 0] = (− 2; 0] ; b) [− 1; 4] ∪ [2; +∞) = [−1; +∞) , [− 1; 4] ∩ [2; +∞) = [2; 4] ;

c) [− 3; 2] ∪ [2; 5) = [−3; 5) , [− 3; 2] ∩ [2; 5) = {2} ; d) (− ∞; − 4] ∪ (−6; +∞) = ℝ , (− ∞; −4] ∩ (−6; +∞) = (−6; −4] ;

e) [− 2; 1) ∪ (0; +∞) = [−2; +∞) , [− 2; 1) ∩ (0; +∞) = (0; 1) ; f) rezultatul nu poate fi scris ca un interval, o variantă

de scriere este: (−3; −2 ) ∪ (−1; 0 ) = (−3; −2 ) ∪ (− 1; 0) , (−3; −2 ) ∩ (−1; 0 ) = ∅ .
2. Efectuaţi:

a) [− 2; 4] ∩ ℕ ; b) [− 3 ; 2) ∩ ℤ ; c) (2 ; 5] ∩ {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8} ;

d) (− 2 ; 2) ∪ {1 ; 2} ; e) (− 7 ; − 2) ∪ {− 7 ; − 2} ; f) [− 1 ; 4) ∪ {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

Rezolvare:

a) [− 2; 4] ∩ ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} ; b) [− 3 ; 2) ∩ ℤ = {− 3 ; − 2 ; − 1 ; 0 ; 1} ; c) (2 ; 5] ∩ {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8} = {4} ;

d) (− 2 ; 2) ∪ {1 ; 2} = (− 2 ; 2] ; e) (− 7 ; − 2) ∪ {− 7 ; − 2} = [− 7 ; − 2] ; f) nu poate fi scrisă reuniunea

ca un interval, o posibilă scriere a rezultatului este: [− 1 ; 4) ∪ {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} = [− 1 ; 4] ∪ {5} .