Page 192 - matematica-viii

190 Arii și volume ale unor corpuri geometrice UNITATEA 5

Aria și volumul trunchiului de con circular drept

Ne amintim!

Corpul geometric obţinut prin secţionarea unui con cu un plan paralel
cu baza şi înlăturarea conului mic obţinut se numeşte trunchi de con.
VO’
VA’
_
Observaţi desenul alăturat şi egalităţile _ = A’O’ = _ = k , precizând

AO
VA
VO
ce semnificaţie asociem valorii k!
Reflectăm!
Trunchiul de piramidă regulată şi trunchiul de con circular drept se obţin prin
acelaşi procedeu – secţionarea unei piramide regulate, respectiv a unui con circu-
lar drept cu un plan paralel cu baza. În figura alăturată sunt reprezentate un trunchi
de piramidă regulată şi un trunchi de con circular drept, aşezate astfel încât bazele
trunchiului de con să fie cercuri circumscrise bazelor trunchiului de piramidă. Cu
cât numărul de laturi ale bazelor trunchiului de piramidă este mai mare, cu atât va-
lorile pentru aria şi volumul trunchiului de piramidă aproximează mai bine valorile
pentru aria şi volumului trunchiului de con.

Reţineţi!

Aria​laterală​a​unui​trunchi​de​con​circular​drept se poate calcula cu formula A = πG(R + r) , unde am notat cu

l
G generatoarea trunchiului de con şi cu R şi r raza bazei mari, respectiv raza bazei mici.
Aria​totală​a​unui​trunchi​de​con​circular​drept​este suma dintre aria laterală şi ariile celor două baze.

A = A + A + A , unde am notat cu A şi A aria bazei mari, respectiv aria bazei mici, formulă echivalentă cu

b
b
B
l
t
B

A = πG(R + r ) + π( R + r ) .

2
2
t
πh
_
R + r + R ⋅ r) , unde h reprezintă înălţimea trunchiului

Volumul unui trunchi de con circular drept este V = ( 2 2
3
de con.
Exersăm împreună!
Vaza din figura alăturată, având forma unui trunchi de con circular
drept, este confecţionată din ceramică şi este smălţuită atât la interior,
cât şi la exterior. În urma măsurătorilor, s-au obţinut următoarele valori:
 la baza mare – diametrul exterior de 12,5 cm, cel interior 12 cm;
 la baza mică – diametrul exterior de 8,5 cm, cel interior 8 cm;
 generatoarea – la exterior 11,5 cm, la interior 11 cm.
Calculaţi, folosind calculatorul şi aproximarea π ≃ 22⁄7 :
a) suprafaţa smălţuită;
b) volumul de apă conţinut, ştiind că vaza se umple în proporţie de 80%.

Rezolvare. Pentru exterior: A = π ⋅ 11, 5 ⋅ (6, 25 + 4, 25 ) ≃ 379, 5 cm şi

2
l

A = π ⋅ 4, 25 ≃ 56, 8 cm . Pentru interior: A ≃ 345, 7 cm , iar aria bazei mici A ≃ 50, 3 cm . În concluzie, suprafaţa

2
2
2
2
b l b

smălţuită are aria aproximativ egală cu 823, 3 cm . _

2

13
Se calculează înălţimea interioară (adâncimea vazei): h = 3 √ cm ; volumul V ≃ 861 cm , deci volumul de apă
3

este aproximativ 689 cm .

3