Page 25 - matematica-viii

UNITATEA 1 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ 23

3. Copiaţi tabelul următor pe caiete și completaţi după model:
Pereche de [0; 3] și (0; 5) Pereche de (−∞; −1) și (0; 7) Pereche de [− 2; 8] și (−1; 0)

intervale intervale intervale
Reuniune 0 3 5 Reuniune Reuniune
[___]
(______)
[0_____5)

[0; 3] ∪ (0; 5 ) = [0; 5)

Intersecţie Intersecţie Intersecţie

4. Determinaţi partea întreagă și partea fracţionară a numerelor: 3,45; –7,12; 0,25.
Partea întreagă a numărului real x este numărul întreg n cu proprietatea n ≤ x < n + 1 ; [x] = n .

Partea fracţionară a unui număr este diferenţa dintre numărul considerat și partea sa întreagă; {x} = x − [x] .

[x] ∈ ℤ , {x} ∈ [0; 1) , pentru orice x număr real.

Rezolvare: 3 ≤ 3, 45 < 4 ⇒ [3, 45] = 3 și {3, 45} = 3, 45 − 3 = 0, 45 ∈ [0; 1) ; − 8 ≤ − 7, 12 < − 7 ⇒ [− 7, 12] = − 8 și

{− 7, 12} = − 7, 12 − (− 8 ) = 0, 88 ∈ [0; 1) ; 0 ≤ 0, 25 < 1 ⇒ [0, 25] = 0 și {0, 25} = 0, 25 − 0 = 0, 25 ∈ [0; 1) .
5. Determinaţi mulţimile A = {x ∈ ℝ | [x] = 1} , B = {x ∈ ℝ | [x] = − 1} , C = {x ∈ ℝ | x = {x} + 1} , apoi calculaţi A ∩ B

și A ∪ C .

Rezolvare: [x] = 1 ⇔ 1 ≤ x < 2 ⇔ A = [1; 2) ; [x] = − 1 ⇔ − 1 ≤ x < 0 ⇔ B = [− 1; 0) ; x = {x} + 1 ⇔ x = x − [x] + 1 ⇔ [x] = 1 ⇔

⇔ C = [1; 2) . A ∩ B = ∅ și A ∪ C = A .
Exersați
1. Reprezentaţi în fiecare caz în parte, pe axa numerelor, intervalele și rezultatul operaţiei respective:
1 _
1 _
1 _
1 _
1 _
1 _

a) ( ; 2 ) ∪ (0; 1) = (0; 2) ; ( ; 2 ) ∩ (0; 1) = ( ; 1 ) ; b) [ ; 2 ] ∪ (0; 1) = (0; 2] ; [ , 2 ] ∩ (0, 1) = [ , 1 ) ;

2
2
2
2
2
2
1 _
1 _
1 _
1 _
1 _
1 _

c) [ ; 2 ) ∪ (0; 1) = (0; 2) ; [ ; 2 ) ∩ (0; 1) = [ ; 1 ) ; d) ( ; 2 ] ∪ (0; 1) = (0; 2] ; ( ; 2 ] ∩ (0; 1) = ( ; 1 ) .

2
2
2
2
2
2
2. Reprezentaţi intervalele, în fiecare caz în parte, pe axa numerelor și calculaţi reuniunea și intersecţia lor:

a) (− ∞; 0) și (− 1; 1) ; b) (− ∞; 2) și [1; +∞) ; c) (1; 4] și [1; +∞) ;

d) [−8; 6] și [−2; 2] ; e) (−∞ ; 0) și (0; +∞) ; f) (−∞; 1] și [1; +∞) .
3. Efectuaţi:

a) [− 3 ; 6) ∪ {6} ; b) [− 4; 5] ∪ {− 5; − 2; 0; 5} ; c) [− 4; 5] ∩ {− 5; − 2; 0; 5} ; d) (− 3; 2) ∪ {− 5; − 3; 0; 2; 5} ;

e) (− 3; 2) ∩ {− 5; − 3; 0; 2; 5} ; f) (− 3; 2) ∪ [− 3; 5) ; g) (− 3; 2) ∩ [− 3; 5) ; h) (− 8; − 2) ∪ [− 1; 5) ;

i) (−5; 5] ∩ [−6; 2) ∩ ℤ ; j) [2; 12] ∪ (3; 18) ; k) [2; 12] ∩ (3; 18) ; l) (− 6; 2,5) ∪ (− 5,6; 6) .

∗

4. Scrieţi următoarele mulţimi sub formă de intervale, A = {x ∈ ℝ | x ≤ 6} , B = {x ∈ ℝ | − 2 ≤ x < 9} ,

C = {x ∈ ℝ | x ≥ − 1} , D = {x ∈ ℝ | − 5 < x ≤ 5} și apoi calculaţi: A ∪ B; C ∪ D ; A ∩ B ; B ∩ C ; D ∪ C ; (A ∪ B) ∩ D ;

A ∪ C; A ∩ C ; A ∩ D ; B ∪ C ; B ∩ D ; A ∩ B ∩ C ∩ D ; A ∪ B ∪ C ∪ D .
5. Dacă n este număr întreg, scrieţi ca intervale sau ca mulţimi finite de numere:

a) {x ∈ ℝ | − 1 ≤ x ≤ 4} ∩ [− 2; 6] ; b) {x ∈ ℝ | − 8 ≤ x ≤ − 4} ∩ [− 4; 6] ; c) {x ∈ ℕ | − 4 ≤ x ≤ 4} ∩ [− 2; 3] ;

d) {x ∈ ℝ | − 1 ≤ x ≤ 2} ∪ [2; 6] ; e) {x ∈ ℝ | − 8 ≤ x ≤ − 4} ∪ [− 2; 6] ; f) {x ∈ ℝ | − 1 ≤ x < 4} ∩ [4; 5] ;

g) {x ∈ ℝ | − 5 < x < 7} ∪ (7; 9) ; h) {x ∈ ℤ | − 1 ≤ x < 8} ∪ [− 2; 5] ; i) (− ∞; n + 1] ∪ (n; n + 2) ;

j) [n − 3; n] ∪ [n − 2; n + 2] ; k) (− ∞; n ] ∩ [n; ∞) ; l) (n; n + 1) ∩ (n; n + 2) .

6. Determinaţi două intervale a căror reuniune reprezintă intervalul [4; 20) și a căror intersecţie reprezintă in-

tervalul (7; 10] . De ce nu pot fi mai multe alegeri?
7. Determinaţi intervalul I care îndeplinește condiţiile:
a) I ∪ [− 3; 4) = [− 3; 6) și I ∩ [− 3; 4) = (− 1; 4) ; b) I ∩ [− 1; 7] = [0; 4] ; c) I ∪ [− 3; 5] = [− 4; 6] .

8. Determinaţi numerele reale a și b, cu a < b, dacă:
a) [a; b] ∩ [− 3; 4] = [− 3; 2] ; b) (a; b) ∩ ℤ = {4} ; c) [a, b] ∩ ℤ = {− 1; −2} ; d) [a ; b) ∩ [− 3; 4] = [− 1; 3) .