Page 26 - matematica-viii

24 Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ UNITATEA 1

Inecuaţii de forma ax + b ≥ 0 ( ≤ , <, >),
unde a, b ∈ ℝ

Ne amintim!
Reflectăm!

Proprietățile relației de inegalitate: Inecuaţia este o inegalitate între două expresii care conţin atât mărimi
1. Oricare ar fi numerele reale a, b, c, dacă cunoscute, cât și necunoscute și care este verificată, de regulă, numai
a ≤ b , atunci a + c ≤ b + c . pentru anumite valori ale necunoscutelor. Valorile necunoscutelor pen-
2. Oricare ar fi numerele reale a, b, c, tru care inegalitatea este adevărată se numesc soluţii ale inecuaţiei.

dacă a ≤ b , atunci a ⋅ c ≤ b ⋅ c dacă c > 0 și O inecuaţie este formată din doi membri într-o relaţie de tipul <
a ⋅ c ≥ b ⋅ c dacă c < 0 . (sau >, ≤ , ≥ ): membrul stâng < (>, ≤ , ≥ ) membrul drept.
3. Oricare ar fi numerele reale a, b, c, cu

c ≠ 0, dacă a ≤ b , atunci a : c ≤ b : c dacă c > 0 A rezolva o inecuaţie înseamnă a determina valorile necunoscutei,

și a : c ≥ b : c dacă c < 0 . dintr-o mulţime dată, pentru care inegalitatea este adevărată. Mulţimea
4. Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d, soluţiilor unei inecuaţii se notează cu S.
dacă a ≤ b și c ≤ d , atunci a + c ≤ b + d . Rezolvarea inecuaţiilor presupune aplicarea de transformări prin
Proprietățile sunt valabile și pentru inega- echivalenţă asupra relaţiilor de inegalitate, folosind proprietăţile relaţiei
litățile: <, > și ≥ . de inegalitate.

Descoperiți!

Rezolvaţi inecuaţia 3x − 12 ≤ 0
în ℕ (mulţimea în ℤ (mulţimea în ℚ (mulţimea în ℝ (mulţimea
numerelor naturale) numerelor întregi) numerelor raţionale) numerelor reale)

3x − 12 ≤ 0 |+ 12 (adunare în ambii membri cu 12)

3x ≤ 12 3x ≤ 12 3x ≤ 12 3x ≤ 12

3x ≤ 12 |: 3 > 0 (împărţirea ambilor membri la 3 care, fiind pozitiv, păstrează sensul inegalităţii

x ≤ 4 x ≤ 4 x ≤ 4 x ≤ 4
Soluţia este formată din...
...toate numerele naturale ...toate numerele întregi ...toate numerele raţionale ...toate numerele reale
mai mici sau egale cu 4. mai mici sau egale cu 4. mai mici sau egale cu 4. mai mici sau egale cu 4.

S = { x ∈ ℕ | x ≤ 4} S = { x ∈ ℤ | x ≤ 4} S = { x ∈ ℚ | x ≤ 4} S = { x ∈ ℝ | x ≤ 4}

S = {0, 1, 2, 3, 4} S = {. . . . , −1, 0, 1, 2, 3, 4} Nu avem posibilitatea de Mulţimea soluţiilor res-
a descrie altfel mulţimea pectă descrierea unui
soluţiilor! interval, deci S = (− ∞, 4]