Page 48 - matematica-viii
P. 48
46 Calcul algebric în ℝ UNITATEA 2
8. Descompuneți expresiile în factori:
a) ax + ay + 2x + 2y ; b) x + 2x + xy + 2y ; c) a − 3a + ax − 3x ;
2
2
d) x + 2 x + 3x + 6 ; e) x + 5x − xy − 5y ; f) 4ax − 8ay + 3bx − 6by ;
3
2
2
g) xy − 4x − 4y + 16 ; h) x y − x + y − 1 ; i) a − a + 3a − 3 .
2
2
2
3
2
2
9. Descompuneți expresiile în factori:
a) (x + y) + 3x + 3y ; b) (x − 2) − 5x + 10 ; c) x + 2xy + y + 4x + 4y ;
2
2
2
2
d) x − 2x + 1 + ax − a ; e) x − 8x + 16 − y ; f) (x + 1) − 4x − 4 ;
2
3
2
2
g) x − 4 + 4y − y ; h) (x − 2) − 2(x − 2 ) + 1 ; i) 4 (x + 1) + 4(x + 1 ) + 1 .
2
2
2
2
10. Descompuneți expresiile:
a) x + 7x + 12 ; b) x − 5x + 6 ; c) x + 11x + 30 ; d) x − 9x + 8 ; e) x − 4x − 21 ;
2
2
2
2
2
f) x + x − 6 ; g) x − 6x − 7 ; h) x − 11x − 26 ; i) x − 6x − 27 ; j) x - 2x - 15.
2
2
2
2
2
11. Descompuneți expresiile:
a) x + 13x − 14 ; b) 5 x + 20 x + 20x ; c) 18 x − 9 x − 2x + 1 ; d) x + 5 x − 7x − 35 ; e) − x − x + 9x + 9 ;
2
3
3
2
3
2
3
2
2
f) x − 13 x + 36 ; g) x + 2 x − 15x ; h) x + x − 12x ; i) x + 4 x + 5x + 2 .
2
3
3
3
2
2
4
2
12. Calculați diferența numerelor a și b, știind că suma lor este 11 și că diferența pătratelor lor este 55.
13. Calculați 2 a b + 2a b , știind că a + b = 6 și ab = 8 .
2
2
14. Calculați a + b , știind că a + b = 12 și ab = 35 .
2
2
______________________
15. Demonstrați că numărul n = √ ( a + 5a ) ( a + 5a + 6 ) + 9 este natural, pentru orice număr natural a.
2
2
_
Indicație: Notând a + 5a = x , expresia devine √ x(x + 6 ) + 9 .
2
16. Arătați că ( x + x + 1) ( x + x + 3) + 1 este pătratul unui număr întreg, pentru orice valoare întreagă a lui x .
2
2
17. Demonstrați că numărul N = ( n − 4n) ( n − 4n + 8) + 16 se poate scrie ca puterea a 4-a a unui număr natural,
2
2
pentru orice n ∈ ℕ , n ≥ 2 .
18. Arătați că, oricare ar fi numerele reale a și b, avem:
a) a + b + 2a + 4b + 9 > 0 ; b) a + b − 2a + 2b + 6 > 0 .
2
2
2
2
Indicație: a) a + b + 2a + 4b + 9 = a + 2a + 1 + b + 4b + 4 + 4 = (a + 1) + (b + 2) + 4 .
2
2
2
2
2
2
19. Determinați numerele reale x și y , știind că:
a) x + y + 2x + 4y + 5 = 0 ; b) x + 4 y + 4x − 8y + 8 = 0 ;
2
2
2
2
_
_
3
2
c) 4 x + 3 y + 4x − 6 √ y + 10 = 0 ; d) 2 x + y − 10 √ x + 8y + 41 = 0 .
2
2
2
2
Indicație: a) x + y + 2x + 4y + 5 = x + 2x + 1 + y + 4y + 4 = (x + 1) + (y + 2) = 0 , doar dacă fiecare termen este 0.
2
2
2
2
2
2
20. Determinați valoarea minimă a expresiilor următoare și precizați, în fiecare caz, pentru ce valoare reală a lui
x se obține minimul expresiei (cea mai mică valoare pe care o poate lua expresia).
a) E = 16 x + 8x + 4 ; b) 9 x − 6x + 6 .
2
2
Indicație: a) 16 x + 8x + 4 = (4x + 1) + 3 și cum (4x + 1) ≥ 0 pentru orice număr real x , obținem E = (4x + 1) + 3 ≥ 3
2
2
2
2
1 _
pentru orice număr real x . Astfel, valoarea minimă a expresiei este 3 și se realizează atunci când 4x + 1 = 0 ⇔ x = − .
4
