Page 53 - matematica-viii
P. 53
UNITATEA 2 Calcul algebric în ℝ 51
Rețineți!
O fracție algebrică, în care partea literală a O fracție algebrică, în care partea literală a ex-
expresiilor algebrice ce o formează conține doar presiilor algebrice ce o formează conține doar ne-
necunoscuta x, are sens pentru orice număr real x cunoscuta x , nu are sens pentru valorile reale ale lui
pentru care numitorul este diferit de 0. x pentru care numitorul este egal cu 0.
O fracție algebrică are sens pentru valorile necu- O fracție algebrică nu are sens pentru valorile ne-
noscutelor pentru care numitorul este diferit de 0. cunoscutelor pentru care numitorul este egal cu 0.
Exersăm împreună!
3x − 2
_
x + 2
Pentru fracția algebrică E(x ) = 2 , x număr real, calculați E (2) ; E (− 3) ; E (0) .
3 ⋅ 2 − 2
− 11
_
− 2
_
4 _
2 _
_
= = − 1 .
Rezolvare: E (2) = _ = = ; E (− 3) = 3 ⋅ (−3 ) − 2 = − 1 ; E (0) = 3 ⋅ 0 − 2 _
=
11
2 + 2
2
0 + 2
3
2
(−3) + 2
2
6
2
Rețineți!
Pentru fiecare valoare număr real cu care înlocuim necunoscutele într-o fracție algebrică obținem o va-
loare a acesteia.
Astfel, în exercițiul de mai sus, -1 este valoarea pe care o ia expresia E(x) pentru x = 0; înțelegem E(0) = -1.
Exersăm împreună!
3x − 4y
_ _ _
8) .
,
2
Pentru fracția algebrică E(x; y ) = 2 2 x, y numere reale nenule, calculați E (2; 1) ; E (− 4; −3) ; E ( √ ; √
x + 2 y
3(−4) − 4(−3)
3 ⋅ 2 − 4 ⋅ 1
1 _
− 12 + 12
2 _
Rezolvare: Pentru x = 2, y = 1 obținem E (2; 1) = _ = = ; E(−4; −3 ) = _ 2 = _ = 0 ;
2
3
2 + 2 ⋅ 1
2
(−4) + 2 (−3)
16 + 18
6
2
_
_
_
_ _ 3 √ − 4 √ – 5 √
2
8
2
2
E ( √ ; √ _____ ___
8) =
=
.
2 + 2 ⋅ 8
18
Rețineți!
3) 4 ⋅ 3
_
12
4 _
Așa cum amplificăm o fracție ordinară cu un număr real, = _ = , tot așa amplificăm o fracție alge-
5
5 ⋅ 3
15
3) 3(x + 1) 3x + 3 x) x(x + 1) 2
x + 1
x + x
x + 1
brică cu un număr real sau cu o expresie algebrică nenulă: _ = _ = _ ; _ = _ = 2 _ .
x − 1
x − 1
x − x
3x − 3
x(x − 1)
3(x − 1)
A amplifica o fracție algebrică cu o expresie algebrică înseamnă a înmulți și numărătorul și numitorul cu
expresia algebrică. Prin amplificarea unei fracții algebrice cu o expresie algebrică nenulă obținem o fracție
egală cu fracția inițială.
Exersăm împreună!
Amplificați:
2
_
_
1
_
2
x
,
a) cu 2x fracția x ∈ ℝ − {− 1} ; b) cu x–4 fracția x − x , x ∈ ℝ − {2} ; c) cu x–3 fracția x − x + 3 , ∈ ℝ − {3} .
x + 1 x − 2 x − 3
2
2
2
2
3
2x
_
_
1
_
_
2x) _ _ _ x−4) x − x ( x − x) (x − 4) x − 5 x + 4x x−3) x − x + 3 ( x − x + 3) (x − 3)
_
2x
2
; b)
;
=
Rezolvare: a) = 2x(x + 1) 2 x + 2x x − 2 = (x − 2) (x − 4) = x − 6x + 8 c) x − 3 = (x − 3) (x − 3) =
x + 1
2
2
3
2
_
= x − 4 x + 6x − 9 .
x − 6x + 9
2
Discutați ce condiții noi de existență apar la fracțiile algebrice obținute după amplificare.
