Page 55 - matematica-viii

UNITATEA 2 Calcul algebric în ℝ 53

Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice

Exersăm împreună!

x + 4
1 _
1 _
1 _
1 _
2x + 1
4 _
5 _

Calculați: a) + − ; b) _ + _ , x ∈ ℝ − {3} ; c) − + .

6 6 6 x − 3 x − 3 2 3 6
3x + 5
x + 4
3 − 2 + 1
2x + 1
4 _
_
2 _
1 _
1 _
5 _
_

= = .

; c) − + =

+

Rezolvare: a) + − = 1 + 5 − 4 = = ; b) _ _ = 2x + 1 + x + 4 = _ 3) 2 1 _ 2) 3 1 _ 1 _ _ 2 _ 1 _ 3
3
x − 3
x − 3
x − 3
x − 3
6
6
6
6
6
6
6
6
Rețineți!
 Pentru adunarea fracțiilor cu același numitor, se adună numărătorii și se păstrează numitorul comun.
 Pentru adunarea fracțiilor de numitori diferiți, primul pas este aducerea fracțiilor la același numitor,
prin amplificare sau prin simplificare!
 La adunarea/scăderea fracțiilor algebrice, după aducerea la același numitor acordăm atenție adunării/
scăderii numărătorilor, inclusiv cu aplicarea corectă a regulii semnelor.
 Proprietățile și reguli ale adunării și scăderii numerelor reale pot fi utilizate și în cazul operațiilor cu
expresii și fracții algebrice.
Exersăm împreună!
1. Verificați egalitățile:
Numitor comun,
Egalitatea Aducere la numitor comun şi verificare
condiţii de existenţă a fracţiilor
_
x _
x + 1
_
5x + 4(x + 1)
x + 1

_

+ = 9x + 4 pentru 4 și 5, numitor comun 5) 4 x _ 4) _ _ 5x + 4x + 4 9x + 4
_

=

+ =
=

20
5
4
este 20
5
20
20
20
1
1
_
_
1 _ − = pentru x și x + 1 , numitor comun x+1) 1 _ x x) _ _ =

1
1

_
x + 1 − x
− =

este x(x + 1) , x ∊ ℝ – {–1; 0}
x
x + 1
x(x + 1)
x ⋅ (x + 1)
x + 1
x(x + 1)

2
x + 4 − − = − pentru 2, x și 4x = 2 x , numitor x + 4 − − = x + 4 − 6x − 4 = − 5x = −
1 _
3 _
_
5 _
4)
1 _
2x) 3 _

_
_
_

5 _

x
4x
2
4
comun este 4x , x ∊ ℝ*
2
x
4
4x
4x
4x
4x − 3 − _ = 2 același numitor, x ∊ ℝ – {–4} 4x − 3 − 2x − 11 = 4x − 3 − (2x − 11) _ = _ = 2
_
2x − 11
2(x + 4)
_
2x + 8

_
_____________

=

x + 4
x + 4
x + 4
x + 4
x + 4
x + 4
x + 4
x + 2 − x + 2
1
1
_
x+2) _ x−2) _ x + 2 − (x − 2) = _
=

=

−

4

_ _ _ pentru x − 2 și x + 2 , numitor comun x − 2 x + 2 (x − 2) (x + 2) 4 (x − 2) (x + 2)
1
1

− =

x − 2

x − 4
x + 2
este (x − 2 ) (x + 2) , x ∊ ℝ – {–2; 2}
2

4
_
_

=

=

x − 4
(x − 2) (x + 2)

2
3
3
x
x

x−2)
3

x+2)
x
_

_
2
_
_
_ _ 6x − x = descompunem x − 4 = (x − 2) (x + 2) , _ _ 6x − x x + 2 + x − 2 + 6x − x 2 =
2

_

2
=

+ +

+ +
x + 2
x − 2

x − 2
x − 4
x + 2

(x − 2 ) (x + 2)
x − 4

2
2

_
2

___________________
_
= 11x − 6 care este numitorul comun, = 3(x − 2 ) + x(x + 2 ) + 6x − x = 11x − 6
(x − 2 ) (x + 2) x ∊ ℝ – {–2; 2} (x − 2 ) (x + 2) (x − 2 ) (x + 2)
2. Completați spațiile punctate cu răspunsul corespunzător pentru a obține propoziții adevărate.
_
_
_
x − 1
− x
2x − 1
?
x − 1
?
2x − 1
_
?
x − 1
_

,

a) 2x − 1 + .... = _ x ∊ ℝ – {–2} _ + = _ ⇔ = _ − _ ⇔ = x + 2

x + 2
x + 2
x + 2
x + 2
x + 2
x + 2
x + 2
x + 2
x + 2
5x + 5
3
_
?
_
_
8 − x
6x
_
_
6x
?
_
8 − x
?
8 − x
x + 1
3 _
_

b) _ − + ... = _ , x ∊ ℝ* 5x + 5 − + = _ ⇔ = _ − _ + ⇔ =

10x
10x
10x
10x
10x
10x
10x
10x
5
10x
10x
2x
10x