Page 56 - matematica-viii
P. 56
54 Calcul algebric în ℝ UNITATEA 2
Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice
Exersăm împreună!
5 _ 8 _
2x + 1 _
_
Calculați: a) − ⋅ ; b) _ x 1 _ 4 _ x _ 2x
, x ∈ ℝ − {0} ; c) : ; d) : , x ∈ ℝ − {0} .
⋅
6 5 x 2 6 3 4 5
3 ⧸
x ⧸
5 8
⧸
⧸
1
1
1
4
5
x _ 2x
2x + 1 _
4 _
_ _
1 _
x _ _
_
_
5 _
5 _
1 _ 4 _
1 _ _
Rezolvare: a) − ⋅ = − ; b) _ = 2x + 1 ; c) : = ⋅ = ; d) : = ⋅ = , x ≠ 0, unde fracția
⋅
2
6 4
5
2
6 3
3
4 2x
2x
4
⧸
⧸
1
3 6 5 ⧸ 1 x 2 ⧸ 8 8
2x
_
este inversa fracției .
5
Rețineți!
Pentru a înmulți două fracții algebrice, înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei, folosind și
regula semnelor, după caz.
Când este posibil, descompunem în factori expresiile de la numitorii și numărătorii fracțiilor, simplifi-
căm și apoi efectuăm înmulțirea.
Împărțirea a două fracții este înmulțirea primei fracții cu inversa celei de a doua fracții.
Proprietățile înmulțirii numerelor reale sunt valabile și la înmulțirea fracțiilor algebrice.
Exersăm împreună!
x
x
5 _ a 2 5 _ a 2 5a _ x + 1 _ x + 1 1 _
_
_
_
_
_
⋅
⋅
,
⋅ = ⋅ = , a ∈ ℝ 5x = 5x = x ∈ ℝ − {− 1; 0}
*
a
a
7
20
7
7
4x + 4
4 (x + 1)
4 a b
3
1 _ x + 1
1
x + 1
_
2a
_
_
_ _
_
_
6b
1 _
: = ⋅ = , x ∈ ℝ − {− 1; 0} 4ab : = ⋅ = = 6b , a ∈ ℝ , b ∊ ℝ
*
2 a
x + 1
1
1
1
x
x
x
3
4x + 2
x + 1 (x − 2) (x + 2)
2x + 1
x + 1
1 _
2
x _
x
x − 1
2x + 1 _
_ : 2 _ = _ _ = x + 2 , x ∈ ℝ − {− 2; − 1; 1; 2} _ : _ _ = , x ∈ ℝ − { − ; 0 }
2
_
⋅
=
2
⋅
x
x
2
x − 1
2
x − 2
x
2 (2x + 1)
x − 4
x − 2 (x − 1 ) (x + 1)
4 x − 9
2x + 3
2
____________
5 _
3 _ 3 _
_ ____________
___________ : _ = 2x + 3 (3x − 5 ) (3x + 5) = 3x − 5 , x ∈ ℝ − − ; − ;
⋅
{ 3
2 2}
9 x + 30x + 25
9 x − 25
(3x + 5 ) (2x − 3)
(3x + 5) (2x + 3) (2x − 3)
2
2
2
_
1
1
1
x − 1 + x + 1 + x − 1 _
_
2
______________
x−1)
_
x+1)
2
2
=
,
( _ + _ + x 2 −1) 1 ) ⋅ x − 1 _______________ ⋅ x − 1 x + 2x − 1 = x ∈ ℝ − {±1; –1 ± √ }
=
x + 2x − 1
x − 1
x + 1
x + 2x − 1
x + 1
2
(x − 1) (x + 1)
(x + 1 ) ( x + 2x − 1)
2
2
Ridicarea la putere Ne amintim
a = a ⋅ a ⋅ . . ⋅ a ; a ⋅ a = a , a ∈ ℝ, m, n ∈ ℕ
.
n
n
n+m
m
de n ori
1 _
–n
Exersăm împreună! a : a = a ; ( a ) = a ; a =
n−m
n⋅m
m
n m
n
a
n
Calculați:
_
x
x _
x
4 x + 4x + 1
_
3
2
2
2x + 1
3
3
_
= = , x ∈ ℝ ( _ ) = (2x + 1) 2 = _ ∈ ℝ
x
,
2
2
*
3
27
3
(3)
x
x
x
2
_
2
2x
_
2x + 1
5
_
5
_
_
_
2x
2x
3
_
3
x
2
⋅ = = 32 x 5 , x ∈ ℝ 2x + 1 : _ = 2x + 1 2 4 x + 4x + 1 , ∈ ℝ
=
*
243
9 x
( 3 )
( 3 )
( 3 )
( 3x ) ( 3x )
( 3x )
4
8
8x + 5
5
2
3
12
2
9
5
1 _
_
1 _
_
1 _
1 _
1 _
1 _
1 _
,
=
_ 2 4 ( 8x + 5 = (8x + 5) 8 x ∈ ℝ ⋅ : = ⋅ : = , x ∈ ℝ
*
) ]
[(
)
[(3x) ] (3x)
(3x)
(3x)
(3x)
(3x)
(3x)
6
6
6
8
