Page 54 - matematica-viii
P. 54
52 Calcul algebric în ℝ UNITATEA 2
Rețineți!
12 : 3
12
(3
_
4 _
Așa cum simplificăm o fracție ordinară cu un număr real, = _ = , tot așa simplificăm o fracție alge-
5
15 : 3
15
(x
(3
3(x + 1)
x + 1
_
_
_
_
=
=
brică cu un număr real sau cu o expresie algebrică nenulă: _ = 3(x + 1 ) : 3 x + 1 ; x(x + 1) = x(x + 1 ) : x _ .
3(x − 1) 3(x − 1 ) : 3 x − 1 x(x − 1) x(x − 1 ) : x x − 1
A simplifica o fracție algebrică cu o expresie algebrică nenulă înseamnă a împărți și numărătorul și numi-
torul cu expresia algebrică.
Exersăm împreună!
Atenție!
✓ Simplificarea fracțiilor algebrice se poate 1. Simplificați fracțiile:
face numai când numărătorul și numitorul x _ 2x + 4 x x + 2x + 1
2
2
_
_
,
,
*
x
*
sunt scrise sub formă de produse. Când a) , x ∈ ℝ ; b) x 2 x ∈ ℝ ; c) x − 1 ∈ ℝ − {− 1; 1} .
x
2
3
expresiile de la numărătorul și numitorul
fracției sunt sume sau diferențe, acestea Rezolvare: a) Observăm că x este factor și al expresiei de la numărător și al
(x
x : x
_
x _
1 _
trebuie descompuse în factori, iar apoi expresiei de la numitor (factor comun), deci = 3 = ;
3
2
x
x
x : x
_
simplificarea se face prin factorii comuni. b) Pentru a simplifica 2x + 4 x 2 descompunem mai întâi numărătorul frac-
2
,
Fracția simplificată printr-un factor nenul (x x (x+1
2x(1 + 2x)
2
_
_
_
2
_
_
este echivalentă (egală) cu cea inițială. ției: 2x + 4 x _ 2(1 + 2x) ; c) x + 2x + 1 (x + 1) 2 = x + 1 .
=
=
2
2
=
2
Dacă simplificarea se face printr-o expre- x x x x − 1 (x − 1 ) (x + 1) x − 1
sie ce se poate anula, fracția simplificată 2. Aduceți următoarele fracții algebrice la același numitor, prin ope-
poate diferi de fracția inițială ca domeniu rația de amplificare:
de definiție! Identificați în exemplele date
3 − x
_
_
_
_
2
anterior o astfel de situație! Acordăm aten- a) ; 4x − 3 7 − x x + 1 , x ∈ ℝ ;
;
;
*
x
2
ție ca factorul de simplificare să fie diferit 2x 5 x 5
3x − 1
_
_
_
de 0! b) x + 2 ; x − 2 ; 2 , x ∈ ℝ − {− 1; 1} .
x − 1
x + 1
✓ Pentru determinarea numitorului comun x − 1
trebuie să ne asigurăm că expresiile de la 3 − x 4x − 3 7 − x x + 1
_
_
_
2
_
;
x
numitor sunt rescrise sub formă de pro- Rezolvare: a) Pentru a aduce fracțiile ; 2x 5 x 2 ; 5 la ace-
duse de factori, folosind metodele de des- lași numitor trebuie să aflăm numitorul comun. Un numitor comun al
compunere sau formule algebrice studiate. 10x) 3 − x 5x) _ 2) 7 − x 2 x 2 ) _
4x − 3
_
2
x + 1
_
2
2
Numitorul comun se calculează astfel: expresiilor x; 2x; 5 x ; 5 este 10 x . Atunci: ; 2x ; 5 x 2 ;
x
5
2
_
descompunem numitorii fracțiilor; și obținem 30x − 10 x 2 20 x − 15x 14 − 2x 2 x + 2 x
2
_
4
_ _
.
;
2
2
2
;
2
;
numitorul comun este produsul facto- 10 x 10 x 10 x 10 x
x − 2
x + 2
rilor comuni și necomuni, luați o singură b) Pentru a găsi numitorul comun al fracțiilor algebrice _ ; _ ;
x + 1
x − 1
dată, la puterea cea mai mare. _
3x − 1
2
x − 1
2 trebuie să descompunem numitorul: x − 1 = (x − 1 ) (x + 1) .
x−1)
x+1)
1)
3x − 1
x − 2
_
_
Numi torul comun este (x − 1 ) (x + 1) ; x + 2 ; _ ; 2 . Obținem:
x + 1
x − 1
x − 1
3x − 1
(x − 1) (x − 2) _
_
;
(x + 1) (x + 2) _ 2 .
;
x − 1
x − 1
x − 1
2
2
Proiect
Pentru problema de mai jos, redactați două soluții: una prin amplificarea fracțiilor, iar cealaltă prin simplificarea
fracțiilor. Analizați, prin comparație, cele două rezolvări și precizați avantajele, respectiv dezavantajele fiecărei me-
tode, din perspectivă proprie. Discutați la nivelul clasei concluziile trase de fiecare dintre voi.
Aduceți fracțiile la același numitor, după ce ați determinat domeniul de definiție:
x + 2
2
_
2
2
_
_ _ _
,
.
,
,
5 _ _ 6 x x − 4 b) x − 1 x + 1 x − 1
;
x + 2x + 1
x − 2x + 1
a) , 3 , 3 2 2 2 x − 2 x + 1
2
x x + 2 x
2
x x − 2 x
2
4
4
