Page 74 - matematica-viii

72 Funcții UNITATEA 3

9. Verificaţi dacă punctele aparţin graficului funcţiei:

a) A (− 3; −7) , B (− 2; −3) , C (− 1; −2) , D (0; −1) , f : {x ∈ ℕ | x ⋮ 6} → ℝ, f(x) = 2x − 1 ;

b) M (1; −3) , N (2; −6) , P (3; 0) , f : {1; 2; 3} → ℝ, f(x) = − 3x .
10. Reprezentaţi grafic funcţiile:
3 _
1 _
1 _

a) f : {− 1; 0; 1; 2; 3} → ℝ, f(x) = 2x − 1 ; b) f : {− 1; 0; 1} → ℝ, f(x ) = x + 1 ; c) f : { − ; 1 ; ; 4 } → ℝ, f(x) = ;

2
x
2
2

d) f : {− 2; −1; 0; 1} → ℝ, f(x) = |x| ; e) f : {− 1; 0; 1; 2} → ℝ, f(x ) = 2 ; f) f : {0; 1; 2} → ℝ, f(x) = (−1) .

x
Comparaţi, în pereche, reprezentările obţinute. Identificaţi comportamente (caracterizări comune) între anu-
mite reprezentări. Notaţi concluziile care vor sprijini propria învăţare!
11. Fie funcţia f : ℕ → ℕ, f(x) = 2x + 1 . Calculaţi:

a) f (0) + f (1) + f (2) ; b) f (0) + f (1) + f (2) + . . . + f(100) ; c) f (0) + f (1) + f (2) + . . . + f(n) ;

d) f (0) + f (1) + f (2) + . . . + f(2n) ; e) f (0) + f (1) + f (2) + . . . + f(3n + 1) .

12. Fie funcţia f : ℕ → ℕ definită astfel: pentru orice număr natural n , f(n) este restul împărţirii lui n la 5.
a) Calculaţi f (1) , f (5) , f (11) , f(24), f(100) .
b) Există m şi n numere naturale diferite pentru care f(m) = f(n) ?

c) Există numere naturale n pentru care f(n) = 3 ? Dar pentru care f(n) = 8 ?
d) Calculaţi f (1) + f (7) + f (12) + f(18 ) + f(24) + f(30) .

e) Reprezentaţi în sistemul de axe xOy punctele funcţiei cu abscisa mai mare sau egală cu 0 şi mai mică sau egală
cu 7. Observaţi distribuţia punctelor reprezentării grafice. Fără a calcula, puteţi continua reprezentarea altor
puncte ale funcţiei? Explicaţi de ce!
13. Considerăm funcţia f : {0; 1; 2; 3; . . . ; 199; 200} → B , unde f(n) este cifra unităţilor numărului n .
a) Determinaţi imaginea funcţiei.
b) Există numere naturale diferite (toate) m, n, p pentru care f(m) = f(n) = f(p) ?
c) Care este probabilitatea ca, alegând un număr n din domeniul de definiţie, să avem f(n) = 5 ?
14. Fie funcţia f : {0; 1; 2; 3 ; . . . ; 2000} → {− 1; 0; 1} .
a) Determinaţi cea mai mică şi cea mai mare valoare a sumei: S = f(0) + f (1) + f (2) + f (3) + . . . + f(2000) .

b) Dacă P = f(0 ) ⋅ f (1) ⋅ f (2) ⋅ f (3) ⋅ . . . ⋅ f(2000) ≠ 0 , arătaţi că suma S = f(0) + f (1) + f (2) + f (3) + . . . + f(2000) nu

poate lua valoarea 0.

c) Modificaţi mulţimea în care funcţia ia valori astfel încât P = f (0) ⋅ f (1) ⋅ f (2) ⋅ f (3) ⋅ . . . ⋅ f(2000 ) ≠ 0 , indiferent

de legea de corespondenţă care ar fi asociată funcţiei.

15. Fie funcţia f : ℕ → ℕ , unde f(n) este egal cu suma divizorilor naturali ai lui n .

*
*
a) Calculaţi f (2) , f (6) , f (16) , f(100) . b) Pentru ce valori ale lui n , f(n ) = 7 ?
c) Pentru ce tip de valori ale lui n , f(n ) = n + 1 ?
Cum se modifică răspunsurile dacă f(n) este egal cu suma divizorilor întregi ai lui n ?
Investigație

Considerăm mulţimea A a vârstei în ani, de la 1 an până la 18 ani inclusiv, şi mulţimea B a valorilor înălţimii
pe care o poate avea un om pe parcursul acestor vârste, măsurată în fiecare an în ziua de naştere şi exprimată în
centimetri. Considerăm funcţia f : A → B , definită de legea prin care f(n) reprezintă înălţimea corespunzătoare

omului în anul n (corespunzătoare măsurării cu ocazia zilei de naştere).
a) Precizaţi semnificaţia scrierii f(14) şi o valoare probabilă asociată acestei scrieri.

b) Precizaţi o vârstă n pentru care este probabil să fie realizată egalitatea f(n) = 60 cm.
c) În contextul dat, este posibilă o egalitate de tipul f(2) = 2 ?
d) În contextul dat, ce argumente am putea aduce pentru a afirma că funcţia este crescătoare (valorile funcţiei
cresc odată cu creşterea valorilor variabilei)?
e) Dacă domeniul de definiţie s-ar extinde la întreaga viaţă a unui om (până la stadiul de vârstnic), am avea
argumente pentru a afirma că funcţia va fi nemonotonă (nici mereu crescătoare, nici mereu descrescătoare)?
f) Dacă extindem domeniul de definiţie la întreaga viaţă (cu atingerea stadiului de vârstnic), ce argument avem
pentru a afirma că facem referire la o altă funcţie decât cea iniţială?