Page 81 - matematica-viii

UNITATEA 3 Funcții 79

Exersăm împreună!

1. Punctele A(5; 6), B(0; 2) aparţin graficului funcţiei f : ℝ → ℝ, f(x) = x + 1 ?

Rezolvare: A(5; 6) ∈ G dacă f(5) = 6 ; f(5) = 5 + 1 = 6 adevărat, deci A(5; 6) ∈ G . Cum f(0) = 0 + 1 = 1 ≠ 2 , atunci
f
f
B(0; 2) ∉ G . Am ţinut cont că domeniul de definiţie este ℝ .

f
2. Determinaţi numărul real m pentru care punctul A(2; 3) ∈ G , f : ℝ → ℝ, f(x) = mx + 1 .

f
.
Rezolvare: A(2; 3) ∈ G dacă f(2) = 3 ; 2m + 1 = 3 ⇒ m = 1 . Evident, 2 ∈ ℝ

f
► Dacă domeniul de definiţie sau codomeniul unei funcţii sunt submulţimi ale lui ℝ , a verifica dacă punctul
M(α, β) aparţine reprezentării grafice a funcţiei f : A → B presupune trei condiţii ce trebuie îndeplinite:
α ∈ A ; β ∈ B ; f(α ) = β reprezintă o egalitate adevărată.

Ce argumente se pot aduce pentru cazul M(α, β) ∉ G ? Discutaţi la nivelul clasei! Verificaţi că aţi înţeles şi că
f
argumentele date sunt corecte pe mai multe exemple de funcţii.
3. Considerăm funcţia f : ℝ → ℝ, f(x ) = 4x − 5 . Determinaţi punctele de pe graficul funcţiei cu proprietatea:
5 _
5 _ 5 _

a) au coordonatele egale; A(a; a ) ∈ G dacă f(a ) = a ; 4a − 5 = a ⇒ a = ⇒ A ; .
(3 3)
3
f
5 _ 5 _
5 _
b) ordonata este dublul abscisei; B(a; 2a ) ∈ G dacă f(a ) = 2a ; 4a − 5 = 2a ⇒ a = ⇒ B ( ; ) .

f 2 2 2
c) abscisa este opusul ordonatei; C(− a; a ) ∈ G dacă f(− a ) = a ; − 4a − 5 = a ⇒ a = − 1 ⇒ C (1; − 1) .

f
d) media aritmetică a coordonatelor _
a + b

este 15. D(a; b ) ∈ G dacă f(a ) = b ; 4a − 5 = b . Dar 2 = 15 , deci D(7; 23) .
f
4. Determinaţi funcţia liniară al cărei grafic conţine punctele A(−2; 3), B(1; 6) .
Rezolvare: Considerăm funcţia f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b , al cărei grafic conţine punctele A(−2; 3), B(1; 6) , deci
− 2a + b = 3

f(−2) = − 2a + b = 3, f(1) = a + b = 6 . Rezolvăm sistemul de două ecuaţii cu două necunoscute şi

a = 1 { a + b = 6

obţinem . Funcţia este f : ℝ → ℝ, f(x) = x + 5 .

{ b = 5

► A determina o funcţie de forma f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b înseamnă a utiliza ipotezele pentru a identifica va-
lorile coeficienţilor a şi b.
5. Determinaţi funcţia liniară f : ℝ → ℝ pentru care are loc relaţia f(x + 1) = 4 − 2x , oricare ar fi x ∈ ℝ .

Rezolvare: În relaţia f(x + 1) = 4 − 2x notăm x + 1 = y şi înlocuim x cu y − 1 . Obţinem f(y − 1 + 1) = 4 − 2(y − 1) ⇔

⇔ f(y) = 4 − 2y + 2 ⇔ f(y) = 6 − 2y . Pentru a obţine f(x) , schimbăm din nou variabila din y în x : f(x) = 6 − 2x .

Am ţinut cont că domeniul de definiţie este ℝ .
O altă metodă de determinare a funcţiei în condiţiile exerciţiului 5 este următoarea:
- atribuim două valori distincte expresiei ce reprezintă variabila funcţiei, x + 1 , ca de exemplu x + 1 = 0 şi

x + 1 = 1 ; obţinem x = − 1 şi f(x + 1) = f(0) = 4 − 2 ⋅ (−1 ) = 6 , respectiv x = 0 şi f(x + 1 ) = f(1 ) = 4 − 2 ⋅ 0 = 4 ;

- ştiind că funcţia este de tip liniar, căutăm valorile pentru coeficienţii a şi b pentru care relaţia f(x ) = ax + b
b = 6

este verificată de perechile (0, 6) şi (1, 4) . Obţinem sistemul , de unde obţinem a = − 2 , în concluzie

{ a + b = 4
legea funcţiei este f(x) = 6 − 2x .

6. Verificaţi dacă punctele A (2, 3) , B(0; −1), C (− 2, −5) sunt coliniare.
Rezolvare: Considerăm funcţia f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b , al cărei grafic conţine punctele A (2, 3) , B(0; −1) . Im-

punem f(2) = a ⋅ 2 + b = 3 şi f(0) = a ⋅ 0 + b = − 1 . Deci b = − 1 şi 2a + (− 1) = 3 ⇒ a = 2 , aşadar f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 1 .
Verificăm dacă şi cel de-al treilea punct aparţine graficului funcţiei f determinate de celelalte două puncte:

f(−2 ) = 2 (−2) − 1 = − 5 , adevărat, deci punctele sunt coliniare şi aparţin dreptei ce corespunde desenului funcţiei f.
► A verifica faptul că trei puncte sunt coliniare este echivalent cu a verifica faptul că unul dintre ele este si-
tuat pe desenul funcţiei liniare determinate de celelate două puncte.